微分中值定理：我不明白什么是用局部性质研究整体性质呢？
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解决时间 2021-01-03 17:56
- 提问者网友：嗝是迷路的屁
- 2021-01-03 14:47
就是知道存在一个点的斜率与连接两端点的斜率相等，这个怎么从局部研究整体了？请高手详解~
最佳答案
- 五星知识达人网友：掌灯师
- 2021-01-09 22:02
我写的可能有点长，但都是一个字一个字敲进去的，不是乱贴过来的，希望楼主静下心来仔细看一看:-)
我觉得要理解清楚这个问题，楼主应该先理解什么是局部性质，什么是整体性质。
给定函数f和点x，f在x处的的导数值f'(x)所刻画的就是典型的局部性质。为什么说导数是局部性质呢？因为对无论多小的正数c，只要给定f(x)在(x-c,x+c)上的值，f'(x)的值就是唯一确定的。换句话说，不必考虑f在定义域其他部分的取值，只要f在x的一个任意小邻域内的值确定了，f'(x)就确定了。这种仅和函数在某点的一个任意小邻域内取值有关的性质习惯上就称为局部性质，“某点的一个任意小邻域内”听起来有些拗口，所以一般简称为“在某点附近”。
再举个例子，极值也是典型的局部性质。因为按定义，说f在x点取极大值，只要说明存在一个c, f在(x-c,x+c)上的取值都≤f(x)就可以了。这与上面的例子如出一辙，都是由f在x附近的取值就能完全确定的性质。
下面看个反例，函数的最值就是典型的整体性质，而非局部性质。因为对一个函数，说它的最值如何，是要给定一个区间才有意义的。单纯谈“点x处的最大值”是没有什么意义的，一定要指明f在区间(a,b)上的最大值才有意义。而判断“f在(a,b)上的最大值在c∈(a,b)处取得”这句话成立与否，仅由f在c点附近的取值未必能判断(f在c处取得极大值也未必就是最大值)，一般说来要知道f在(a,b)整体上的取值才能判断。所以说最值是整体性质。
进一步，对一个函数f，如果说(a,b)上存在一点c, 使得f(c)满足blabla…，这也算f在(a,b)上的一个性质，是哪种性质呢？应该算整体性质！因为要想万无一失地判断f是否有这个性质，需要知道f在(a,b)整体上的取值（证实的时候只要找一个c就行，关键是想否定的时候必须知道f在(a,b)上的整体取值才好判断）。因此，这也应该算是f的一种存在性的整体性质。
下面看微分中值定理。给定两点A(a,f(a)),B(b,f(b))以后，它们的斜率k就确定了。“f在(a,b)内存在一点导数值为k”应该算是f的一个整体性质，然而这个整体性质是用导数刻画的，而导数本身一个局部性的概念。给定A,B并不能约束f在任何一点的导数值，因为导数只是局部概念。但是中值定理指出：必然存在一点导数值=k，也就是说给定A,B虽然无力约束f在每点局部的性质，但可以保证必然有某一点的局部性质是已知的！这其实是挺奇妙的一件事。
这么说可能有点抽象，不妨举一个典型例子：f在(a,b)导数恒为0，证明f在(a,b)恒为0. 证明是简单的，用罗尔定理(可看作微分中值定理的特例)即可。但仔细分析下这个命题的结构：已知是f在每一点的局部性质，结论却是f的整体性质，沟通二者的桥梁就是中值定理！这个问题的玄妙在于: f在某点的导数是0，并不能推出f在这点的邻域内恒=0. 但f在(a,b)内点点导数是0，却能推出f在点点的邻域内恒=0. 因此这个问题本身不能仅用导数的局部含义证明，必须用某种沟通局部性质与整体性质的结论，微分中值定理正是这方面的有力工具。楼主如有兴趣，不妨试试不用中值定理(罗尔定理)证这件事，证明困难得多！而且免不了要用实数连续性的若干等价命题，比如确界定理等等。
最后再说一句，其实局部性质与整体性质这类的说法并无严格定义，所以不必抠字眼去判断到底是局部性质还是整体性质，关键是要理解这种分类其中蕴含的思想，用于解决实际问题。
我觉得要理解清楚这个问题，楼主应该先理解什么是局部性质，什么是整体性质。
给定函数f和点x，f在x处的的导数值f'(x)所刻画的就是典型的局部性质。为什么说导数是局部性质呢？因为对无论多小的正数c，只要给定f(x)在(x-c,x+c)上的值，f'(x)的值就是唯一确定的。换句话说，不必考虑f在定义域其他部分的取值，只要f在x的一个任意小邻域内的值确定了，f'(x)就确定了。这种仅和函数在某点的一个任意小邻域内取值有关的性质习惯上就称为局部性质，“某点的一个任意小邻域内”听起来有些拗口，所以一般简称为“在某点附近”。
再举个例子，极值也是典型的局部性质。因为按定义，说f在x点取极大值，只要说明存在一个c, f在(x-c,x+c)上的取值都≤f(x)就可以了。这与上面的例子如出一辙，都是由f在x附近的取值就能完全确定的性质。
下面看个反例，函数的最值就是典型的整体性质，而非局部性质。因为对一个函数，说它的最值如何，是要给定一个区间才有意义的。单纯谈“点x处的最大值”是没有什么意义的，一定要指明f在区间(a,b)上的最大值才有意义。而判断“f在(a,b)上的最大值在c∈(a,b)处取得”这句话成立与否，仅由f在c点附近的取值未必能判断(f在c处取得极大值也未必就是最大值)，一般说来要知道f在(a,b)整体上的取值才能判断。所以说最值是整体性质。
进一步，对一个函数f，如果说(a,b)上存在一点c, 使得f(c)满足blabla…，这也算f在(a,b)上的一个性质，是哪种性质呢？应该算整体性质！因为要想万无一失地判断f是否有这个性质，需要知道f在(a,b)整体上的取值（证实的时候只要找一个c就行，关键是想否定的时候必须知道f在(a,b)上的整体取值才好判断）。因此，这也应该算是f的一种存在性的整体性质。
下面看微分中值定理。给定两点A(a,f(a)),B(b,f(b))以后，它们的斜率k就确定了。“f在(a,b)内存在一点导数值为k”应该算是f的一个整体性质，然而这个整体性质是用导数刻画的，而导数本身一个局部性的概念。给定A,B并不能约束f在任何一点的导数值，因为导数只是局部概念。但是中值定理指出：必然存在一点导数值=k，也就是说给定A,B虽然无力约束f在每点局部的性质，但可以保证必然有某一点的局部性质是已知的！这其实是挺奇妙的一件事。
这么说可能有点抽象，不妨举一个典型例子：f在(a,b)导数恒为0，证明f在(a,b)恒为0. 证明是简单的，用罗尔定理(可看作微分中值定理的特例)即可。但仔细分析下这个命题的结构：已知是f在每一点的局部性质，结论却是f的整体性质，沟通二者的桥梁就是中值定理！这个问题的玄妙在于: f在某点的导数是0，并不能推出f在这点的邻域内恒=0. 但f在(a,b)内点点导数是0，却能推出f在点点的邻域内恒=0. 因此这个问题本身不能仅用导数的局部含义证明，必须用某种沟通局部性质与整体性质的结论，微分中值定理正是这方面的有力工具。楼主如有兴趣，不妨试试不用中值定理(罗尔定理)证这件事，证明困难得多！而且免不了要用实数连续性的若干等价命题，比如确界定理等等。
最后再说一句，其实局部性质与整体性质这类的说法并无严格定义，所以不必抠字眼去判断到底是局部性质还是整体性质，关键是要理解这种分类其中蕴含的思想，用于解决实际问题。
全部回答
- 1楼网友：猎心人
- 2021-01-10 02:12
（1）导数只是反映函数在一点附近的局部性质，但是要用导数来了解函数在区间上的整体性态，还需要借助中值定理，它是从局部性质推断整体性态的有力工具。
（2）至于疑惑“这明明是用整体性质来研究局部问题嘛，知道两点间的函数值是整体，其中必存在一个导数这个是局部性质呀~”与“但是微分中值定理是在你知道了函数的前提下才研究的导数呀。是知道了两端点才知道了存在某个导数呀？这个是函数决定导数的关系，而不是导数决定了函数的关系啊”
要知道，定理中的ξ只说存在，往往无法知道是那点，这就决定了几乎不会用它来研究导数；反过来，它将函数在任意两点处的函数值用一个带导数的等式联系起来了（一定条件下），从而决定了它是从局部性质（导数）推断整体性态的有力工具；
实际上，对一个确定的函数，函数的所有性态都是确定的，但是，重要的是我们想知道进而证明函数具体有什么性态！对此，微分中值定理是个有力的工具。
- 2楼网友：不如潦草
- 2021-01-09 23:18
简单的举个例子吧：
我们从f(x)导数大于零推导f(x)的单调性。
f'(x)>0,由单调性的定义，x1>x2,存在x3,使得f(x1)-f(x2)= f'(x3)>0,从而f(x)是单调增的，
f'(x)是局部的性质，而单调性则是整体的性质，从这个例子便可以看出中值定理的应用。
- 3楼网友：雪起风沙痕
- 2021-01-09 23:12
导数是局部的，而函数是整体的。而导数和函数是不同的两个函数，如果要研究他们两者的关系的话，可以用微分中值定理联系起来。
我们可以通过函数用它来研究导数，即整体研究局部，但是同时我们也可以通过导数用它来研究函数，即局部研究整体。
- 4楼网友：轻雾山林
- 2021-01-09 22:13
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