正态分布的数学期望

设ζ1，ζ2，......，ζn相互独立，Eζ=μ，Dζ=σ².试求À=1/n∑(上面是n,下面是i=1)ζi和S²=1/n∑(同上)(ζi﹣À)的数学期望，并求DÀ。

E(x^4)
=∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 积分区间（-∞，+∞）
=2∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 积分区间（0，+∞）
分步积分。
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）+2/√(2π)∫3x^2*e^（-x^2/2）dx
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
+2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx

积分区间（0，+∞）
1/√(2π)∫e^（-x^2/2）dx=1/2
2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx=3*2*1/2=3
而2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
=2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）
利用罗必塔法则，
lim2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）=0
所以E(x^4)=3
满意请采纳。

=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx=3*2*1/2=3
而2x^3*1/2）-6x/√(2π)3x*e^（-x^2/√(2π)∫e^（-x^2/2）-2/2）
=2x^3/√(2π)e^（-x^2/2）
+2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx

 积分区间（0;√(2π)*e^（x^2/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)∫3*e^（-x^2/，+∞）
1/√(2π)e^（x^2/2）dx=1/√(2π)e^（-x^2/√(2π)∫3x^2*e^（-x^2/2）
利用罗必塔法则;2）dx
=-2x^3*1/√(2π)e^（x^2/2）-6x/2）dx 积分区间（0;√(2π)e^（-x^2/，+∞）
=2∫x^4*1/，
lim2x^3/e(x^4)
=∫x^4*1/2）+2/2）dx 积分区间（-∞，+∞）
分步积分;2
2/√(2π)3x*e^（-x^2/√(2π)*e^（x^2/

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