等边△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F

等边△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F

证明：(1)　连结BD.
因为　D是等边三角形ABC的AC边的中点，
　　　　　所以　BD垂直于AC, 角DBC=1/2角ABC=30度，
　　　　　因为　D是AC的中点，CE=AD,
所以　CE=CD, 角CDE=角CED,
因为　角ACB=60度，且　角ACB=角CDE+角CED,
所以　角CED=1/2角ACB=30度，
　　　　　所以　角CED=角DBC,
所以　DB=DE,
又因为　PF垂直于BC于F,
所以　BF=EF．
　　(2)　若D是AC上的任意一点，则　BF=EF仍成立．
　　　　证明：过点D作DG//BC交AB于G,
因为　三角形ABC是等边三角形，
　　　　　　　所以　三角形AGD也是等边三角形，
　　　　　　　所以　AD=GD＝AG, 角AGD=角ACB=60度，
　　　　　　　因为　AD=CE, AD=GD,
所以　CE=GD,
因为　角AGD=角ACB=60度，
　　　　　　　所以　角BGD=角DCE=120度，
因为　AD=AG, AB=AC,
所以　BG=DC,
所以　三角形BGD全等于三角形DCE,
所以　DB=DE,
又因为　　PF垂直于BC于F,
所以　BF=EF．
　　(3)　若D是边AC延长线上任意一点，(2)中的结论仍然成立．
　　　　证明：因为　三角形ABC是等边三角形，
　　　　　　　所以　角ACB=60度,AC=BC,
　　　　　　　因为　DF垂直于BC于F,角CFD=90度，
　　　　　　　所以　角CDF=90度--角DCF
=90度--角ACB
=30度，
　　　　　　　所以　CF=1/2CD,
因为　BF=BC+CF=BC+1/2CD,
EF=CE--CF=CE--1/2CD,
又　　CE=AD, AC=BC,
所以　BF=AC+1/2CD,
EF=AD--1/2CD
=AC+CD--1/2CD
=AC+1/2CD,
所以　BF=EF.
说明一下：不知为什么，图像无法上传，很是抱歉．

1，过D作AB的平行线，交BC或BC的延长线于G
∵△DGB全等于△DCE
∴BG=CE
∵△DGC是等边三角形
∴FG=FC
∴BF=FE
2，依然成立，证明同上
3，依然成立，在本小题的证明中过程中是△DBC全等于△DGE追问那个，能不能把过程写完整追答∵DG∥AB
∴△DGC是等边三角形
∵DF⊥BC
∴DF平分GC，即GF=FC
∵DG=DC=GC，BG=BC-GC=AC-DC=AD=CE，角DCE=角DGC=180-60=120
∴△DCE全等于△DGB(仅限于1，2，两小题的证明中)
∴BG=CE
∴BG﹢GF=BF=EF=CE﹢FC
同理在3小题的证明中，是△BCD全等于△DGE，原理相同

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