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绘制由水平截面与方程z=x²-2y²构成的马鞍面形成的交线

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解决时间 2021-11-17 13:08
  • 提问者网友:雨不眠的下
  • 2021-11-17 07:26
绘制由水平截面与方程z=x²-2y²构成的马鞍面形成的交线
最佳答案
  • 五星知识达人网友:神鬼未生
  • 2021-11-17 08:28
求曲面2x²+3y+z²=47与曲面x²+2y²=z的交线上点(-2,1,6)处的切线和法平面。
解:设F(x,y,z)=2x²+3y+z²-47=0.........(1)
Q(x,y,z)=x²+2y²-z=0..................(2)
在点(-2,1,6)处的偏导数:
∂F/∂x=4x=-8;∂F/∂y=3;∂F/∂z=2z=12;
∂Q/∂x=2x=-4;∂Q/∂y=4y=4;∂Q/∂z=-1;
过点(-2,1,6)的切线方程为:(x+2)/L=(x-1)/m=(z-6)/n..........(3).
过点(-2,1,6)的法平面为:L(x+2)+m(y-1)+n(x-6)=0............(4);
其中L=∣3 12∣=-3-48=-51; m=∣12 -8∣=-48-8=-56; n=∣-8 3∣=-32+12=-20
∣4 -1∣ ∣-1 -4∣ ∣-4 4∣
代入(3)式得切线方程为(x+2)/51=(x-1)/56=(z-6)/20;
代入(4)式的切面方程为51(x+2)+56(y-1)+20(z-6)=0,展开即得51x+56y+20z-74=0.
2.设函数z=f(x,υ)俱有二阶连续偏导数,其中υ=xy,求∂²z/∂x∂y
解:∂z/∂x=∂f/∂x+y(∂f/∂υ);∂²z/∂x∂y=x(∂²f/∂x∂υ)+∂f/∂υ+xy(∂²f/∂υ²);
3.利用格林公式计算[L]∮(x²ycosx+2xysinx-y²e^x)dx+(x²sinx-2ye^x)dy,
其中L沿整个星形线 x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)(a>0)的逆时针方向,。
解:P=x²ycosx+2xysinx-y²e^x;∂P/∂y=x²cosx+2xsinx-2ye^x;
Q=x²sinx-2ye^x;∂Q/∂x=2xsinx+x²cosx-2ye^x=∂P/∂y;
∂P/∂y=∂Q/∂y,此积分与路径无关。取始点(-a,0),终点(a,0);此时y=0,dy=0。
故[L]∮(x²ycosx+2xysinx-y²e^x)dx+(x²sinx-2ye^x)dy=0

二。综合题
1.用拉格朗日乘数法在抛物面z=x²+y²上求一点使其到平面x+2y-2z=9的距离最短
解:设抛物面z=x²+y²上的一点P(x,y,z)到平面x+2y-2z-9=0的距离为S,则
S=∣x+2y-2z-9∣/√(1+4+4)=(1/3)∣x+2y-2z-9∣;现在要求在条件z-x²-y²=0约束下S的最小值。
作函数F(x,y,z)=(1/3)∣x+2y-2z-9∣+λ(z-x²-y²);
令∂F/∂x=1/3-2λx=0.......(1);∂F/∂y=(2/3)-2λy=0.......(2);∂F/∂z=(2/3)+λ=0.......(3)
由(3)得λ=-2/3;代入(1)式得x=-1/4;代入(2)得y=-1/2;z=1/16+1/4=5/16。
故得Smin=(1/3)∣-1/4-1-(5/8)-9∣=29/8.
2.一半径为10米的圆形蓄水池,池底形状未知,测得其水面至圆形水池的中心距离为r米处的水
深h满足关系式h=1/(1+r²)米,试计算水池的蓄水量。
解:以水池水面中心作坐标原点,垂直向下的直线为y轴,水面任一半径方向为x轴建立坐标
系。在此坐标系里,水深y=1/(1+x²);(0≦x≦5);1+x²=1/y;x²=(1/y)-1,](1/26≦y≦1)
故蓄水量Q=[1/26,1]π∫x²dy+25π×(1/26)=[1/26,1]π∫[(1/y)-1]dy+(25/26)π
=π(lny-y)[1/26,1]+(25/26)π=π[-1-ln(1/26)+1/26]+(25/26)π=πln26=10.24m³追问用matlab做!你这是什么鬼!
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