如何证明一个矩阵可逆?

如何证明一个矩阵可逆?

证明一个矩阵可逆的方法有5种；
（1）看这个矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；
（2）看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；
（3）定义法：若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆，且B是A的逆矩阵；
（4）对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；
（5）对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。

扩展资料：
可逆矩阵的性质：
（λA）^(-1)=λ^(-1)A^(-1) 
λA是矩阵，（λA）^(-1)是λA的逆矩阵 
λ^(-1)是一个数，λ的倒数，1/λ 
A^(-1)是矩阵，A的逆 λ^(-1)A^(-1)是数1/λ乘矩阵A^(-1)。

特别方法：证明二次型xTAx为正定二次型，则A为正定矩阵，则A的行列式＞0恒成立，则A可逆。（此方法用于题目条件给的是正定矩阵或者对称矩阵）

证明可逆可以从行列式等于0出发。证明行列式等于0方法：秩为n，有非零解，特征值存在0,反证法，行列式等于它的相反数等等

1.利用定义，AB=BA=E，如果存在矩阵B，则B为A的可逆矩阵，A就可逆。
2.判断是否为满秩矩阵，若是，则可逆。
3 看这个矩阵的行列式值是够为0，若不为0，则可逆。
4 利用初等矩阵判断，若是初等矩阵，则一定可逆。

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