兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟

兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱？

从哥哥才能得10整数，弟弟不得整数，可知总钱数是10的3倍再加一个个位数，而某一个数的幂十位上的数是单数又能整除3的个位都是6，如4×4=16 5×5=25 6×6=36 7×7=49 8×8=64 9×
9=81 10×10=100 11×11=121 12×12=144
13×13=169 14×14=196
15×15=225 16×16=256......
发现十位是单数的个位都是6可知到帽子是4元。

设有x只羊，兄弟俩反复取10元钱y次，弟弟最后得到的钱z元． x2-20y=10+z y≥1，z为1，2，3，4，5，6，7，8，9 x=6或14或16…z=6 草帽的钱数为 10?z 2 =2 故草帽的钱数为2元．

这顶草帽抵钱2元。 因每只羊所能卖的钱数恰好与兄弟二人所有的羊的总数一样多，故所卖的钱数为一个完全平方数。而按照他们二人的分钱的方法可知，总钱数的十位数一定是奇数，而不是偶数；又因为兄弟二人所分得的钱数相等，因此，总钱数的个位数上的数字一定是偶数。 而一个完全平方数的个数数字只可能是0、1、4、5、6、9，但这时的个位数字只可能是4或6(不可能是0，因为哥哥取走整10元的钱后，还有不足10元钱的余钱)。 而当个位数字是4时，其对应的完全平方数的十位数字总是偶数，而不是奇数[这是因为：个位数字为4的完全平方数，只可能是形如10n+2或10n＋8的数，从而（10n+2）2＝100n2+40n+4或(10n＋8)2=100n2+160n+64=100n2+(16n+6)×10+4，其中n为大于或等于零的整数。 当完全平方数的个位数字是6时，其对应的十位数字总是奇数，而不是偶数[这是因为：个位数字为6的完全平方数，只可能是形如10n+4或10n＋6的数，从而(10n+4)2＝100n2+80n+16＝100n2+(8n+1)×10+6或(10n＋6)2=100n2+120n+36=100n2+(12n+3)×10+6，其中n为大于或等于零的整数。] 也就是说，兄弟二人卖羊的总钱数为一个完全平方数，而且这个完全平方数的十位数字为奇数，个位数字始终是6，从而当哥哥和弟弟轮流取走10元钱之后，最终总会剩下16元钱；而哥弟二人所分得的钱数是相等的，最后二人应该各得8元，但哥哥却取走了10元，因而哥哥给弟弟的帽子值2元钱。比如42＝16、62＝36、142=196、162＝256，……，都是满足条件的解。

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