若x^2-2xy+y^2=2,则2x^2+y^2范围是

若x^2-2xy+y^2=2,则2x^2+y^2范围是

解：
x²-2xy+y²=2
(x-y)²=2
x-y=√2或x-y=-√2
x=y+√2或x=y-√2
x=y+√2时，
2x²+y²
=2(y+√2)²+y²
=3y²+4√2y+4
=3(y +2√2/3)² +4/3
y=-2√2/3时，2x²+y²有最小值(2x²+y²)min=4/3
y→∞时，2x²+y²→+∞
x=y-√2时，
2x²+y²
=2(y-√2)²+y²
=3y²-4√2y+4
=3(y -2√2/3)² +4/3
y=2√2/3时，2x²+y²有最小值(2x²+y²)min=4/3
y→∞时，2x²+y²→+∞

综上，得：2x²+y²≥4/3
2x²+y²的取值范围为[4/3，+∞)追问题目错了QAQ 是x^2-2xy+2y^2=2追答知道肯定是题目错了。不过你既然写了，肯定按你写的题目来解。
现在按你纠正后的题目来解：

解：
x²-2xy+2y²=2
(x²-2xy+y²)+y²=2
(x-y)²+y²=2
令x-y=√2cosα，y=√2sinα
则x=√2cosα+√2sinα
2x²+y²
=2(√2cosα+√2sinα)²+(√2sinα)²
=2(2cos²α+2sin²α+4sinαcosα)+2sin²α
=2[2+2sin(2α)]+1-cos(2α)
=4sin(2α)-cos(2α)+5
=√[4²+(-1)²]sin(2α-θ) +5，(其中，tanθ=¼)
=√17sin(2α-θ) +5
-1≤sin(2α-θ)≤1
5-√17≤√17sin(2α-θ) +5≤5+√17
5-√17≤2x²+y²≤5+√17
2x²+y²的取值范围为[5-√17，5+√17]

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