几何题一道

已知△ABC，分别以AB BC CA为边向形外作等边△ABD 等边△BCE 等边△ACF。当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和

证明：
连接AE、BF、CD。
∵∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠BAC+∠BAD=∠DAC
并且有：AB=AD，AC=AF
∴△BAF≌△DAC
∴S△BAF=S△DAC
同理可证：△ABE≌△DBC
∴S△ABE=S△DBC
∴S△ABC+S△ABD=S△DBC+S△DAC=S△ABE+S△BAF……①
又∵∠ACB=60°
∴∠ECF=∠ECB+∠BCA+∠ACF=180°
∴ECF三点在一条直线上
又∵∠F=∠BCE=∠ACF=∠E
∴AC‖BE且BC‖AF
∴S△BAF=S△ACF且S△ABE=S△BCE
由①式继续往下得：
S△ABE+S△BAF=S△BCE+S△ACF
∴S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
故结论得证！

附：辅助线AE、BF、CD三线共点(费马点)，这个题留给楼主思考。

延长ao到f，使of=ao，连接bf、df、ef、cf，则fob全等于aoc、abd全等于fce，

所以 bf=ac、df=ae、ef=ad，

延长fd交ab于p，

在bfp中，bf+bp＞pf=pd+df

两边同加上 ap：bf+bp+ap＞pd+df+ap，即 ab+bf＞(pd+ap)+df，

而在pad中，pd+ap＞ad，故  ab+ap＞ad+df ，

即 ab+ac＞ad+ae .

 

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