关于三角形垂心的问题

证明：1垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上

           2锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍

如图，设△ABC三条高线AF,BD,CE交与一点H，外心为Q，不妨作H关于BC的对称点H'

连接BQ并延长，交△ABC外接圆于P

只要证明A,C,H',P四点共圆即可。

因为∠BDC=∠AFC=90°

D,H,F,C四点共圆∠3=∠2 (∠2=∠ACB)

又因为A.B.C.P四点共圆

故∠2=∠4

又因为H'是关于H的对称点，连接BH'，则△HBH'是等腰三角形

∠1=∠3

又因为∠3=∠2=∠4

故∠1=∠4

A,B,H',P四点共圆。

H'在△ABC的外界圆上，得证。

三角形“五心歌” 三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混． 重 心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内 心 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然． 外 心 三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为“外心”，用它可作外接圆． “内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键． 按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下. 重心是中线交点，内心是角平分线交点(或内切圆的圆心)， 外心是中垂线交点(或外接圆的圆心)，垂心是高线交点, 这称三角形的四心. 还有一个心叫傍心:外角平分线的交点(有3个),(或傍切圆的圆心) 只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一.

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息