在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b 2 =3ac，则角A的大小为______

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b 2 =3ac，则角A的大小为______．

△ABC中，∵2bcosB=acosC+c?cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinC?cosA，∴sin2B=sin（A+C）．
得2B=A+C （如果2B=180°-（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．
A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．
又b 2 =3ac，故 sin 2 B=3sinAsinC，∴
3
4 =3sinAsinC=3×
1
2 [cos（A-C）-cos（A+C）]=
3
2 （cos（A-C）+
1
2 ），
解得 cos（A-C）=0，故A-C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=
π
12 ，或A=
7π
12 ．
故答案为A=
π
12 ，或A=
7π
12

考虑正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=d（d为三角形abc的外接圆直径），则 a=dsina,b=dsinb,c=dsinc，代入2bcosb=acosc+ccosa得 d*2sinbcosb=dsinaacosc+dsinccosa 于是有 sin2b=sin(a+c) 得2b=a+c （如果2b=180°-(a+c)，结合a+b+c=180°易得b=0°，不合题意） a+b+c=180°=3b，得b=60°，a+c=120° 又b^2=3ac，故 d^2*sin^2 b=3d^2sinasinc sin^2 b=3sinasinc (√3/2)^2=3/4=3sinasinc=3*1/2*[cos(a-c)-cos(a+c)]=3/2*[cos(a-c)+1/2] 得cos(a-c)=0 故a-c=±90° 结合a+c=120°，易得 a=105°或a=15°。 不明白请追问。

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