高中数学-抛物线的性质

已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1米，跨度为2米，建立适当的直角坐标系，求相应坐标系下此拱形的抛物线方程。

请给出详细的解题过程

以顶部为坐标原点建立直角坐标
设X^2=-2py
抛物线经过(-1,-1),(1,-1),代入得P=1/2
所以X^2=-y

1)ab过焦点(1/2,0),且斜率不可能为0, 设ab:x=ky+1/2

代入抛物线得 y²=2x=2ky+1, ∴y²-2ky-1=0

∴y1+y2=2k,y1y2=-1

向量oa*向量ob=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1/2)(ky2+1/2)+y1y2

    =(1+k²)y1y2+(k/2)(y1+y2)+1/4=-(1+k²)+(k/2)×2k+1/4=-3/4

2)a,b,c都在抛物线上,且ab横坐标相同, 则设a(2pa²,2pa),b(2pa²,-2pa),c(2pb²,2pb)

由题意,ac⊥bc, 即向量ca*向量cb=0

∴向量ca*向量cb=(2pa²-2pb²,2pa-2pb)(2pa²-2pb²,-2pa-2pb)=4p²(a²-b²,a-b)(a²-b²,-a-b)

    =4p²[(a²-b²)²-(a²-b²)]=4p²(a²-b²)(a²-b²-1)

显然,a²≠b²(ab和c的横坐标不可能相同), ∴a²-b²-1=0, a²-b²=1

cd为ac横坐标之差, ∴cd=2pa²-2pb²=2p(a²-b²)=2p

3)

由图可知,am=(√3/2)ab=(√3/2)(af+bf)

由抛物线定义,af=ap,bf=bq

∴am=ap-mp=ap-bq=af-bf

∴af-bf=(√3/2)(af+bf), (2-√3)af=(2+√3)bf

∴af/bf=(2+√3)/(2-√3)=(2+√3)²=7+4√3

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