求证：3(a+b+c)大于等于8倍的立方根下abc＋立方根下（a^3+b^3+c^3)/3

求证：3(a+b+c)大于等于8倍的立方根下abc＋立方根下（a^3+b^3+c^3)/3

(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)
=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2
=(a^2-b^2)(a-b)
=(a+b)(a-b)^2≥0
a^3+b^3≥ba^2+ab^2
同理可得
b^3+c^3≥bc^2+cb^2,
a^3+c^3≥ca^2+ac^2,
三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)≥(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
≥b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3≥3abc(当且仅当a=b=c时取等号)
所以（a+b+c）/3大于或等于a*b*c的立方根

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