求齐次方程 y'=2xy/(x^2-y^2)的通解
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解决时间 2021-01-07 14:30
- 提问者网友：动次大次蹦擦擦
- 2021-01-07 08:07
求齐次方程 y'=2xy/(x^2-y^2)的通解
最佳答案
- 五星知识达人网友：刀戟声无边
- 2021-01-07 09:19
利用换元 法u=y/x，然后再用变量分离，可以求得其通解。求解过程如下：
全部回答
- 1楼网友：往事隔山水
- 2021-01-07 10:46
解：∵ y'=2xy/(x^2-y^2) ，设u= y/x ∴ 得：(ux)'=2xy/(x^2-y^2)
∴u'x+u=2/(1/u-u),u'x=2u/(1-u²)-u,u'x=u*(1+u²)/(1-u²)
∴(1-u²)/u*(1+u²)du=1/xdx,[(4/3)/(u+u³)-1/3*(3u²+1)/(u+u³)]du=1/xdx
∵1/(u+u³)=1/u*(1+u²)=1/u-u/(1+u²) ∴得：{(4/3)*[1/u-1/2*2u/(1+u²)]-1/3*(3u²+1)/(u+u³)}du=1/xdx,(4/3)*[lnu-1/2*ln(1+u²)]-1/3*ln(u+u³)=lnx+C
∴lnu^(4/3)/(1+u²)^(2/3)-ln(u+u³)^(1/3)=lnx*e^C
∴[u^(4/3)/(1+u²)^(2/3)]/(u+u³)^(1/3)=x*e^C,u/(1+u²)=Ax (A=e^C)
∴(y/x)/[1+(y/x)²]=Ax,y/x=[1+(y/x)²]*Ax, y=Ax²+Ay², y/A=x²+y²
∴u'x+u=2/(1/u-u),u'x=2u/(1-u²)-u,u'x=u*(1+u²)/(1-u²)
∴(1-u²)/u*(1+u²)du=1/xdx,[(4/3)/(u+u³)-1/3*(3u²+1)/(u+u³)]du=1/xdx
∵1/(u+u³)=1/u*(1+u²)=1/u-u/(1+u²) ∴得：{(4/3)*[1/u-1/2*2u/(1+u²)]-1/3*(3u²+1)/(u+u³)}du=1/xdx,(4/3)*[lnu-1/2*ln(1+u²)]-1/3*ln(u+u³)=lnx+C
∴lnu^(4/3)/(1+u²)^(2/3)-ln(u+u³)^(1/3)=lnx*e^C
∴[u^(4/3)/(1+u²)^(2/3)]/(u+u³)^(1/3)=x*e^C,u/(1+u²)=Ax (A=e^C)
∴(y/x)/[1+(y/x)²]=Ax,y/x=[1+(y/x)²]*Ax, y=Ax²+Ay², y/A=x²+y²
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