已知椭圆C中心在原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点（1，3/2） 第一问：求椭圆C的标准方程

第二问：若斜率为1的直线L与椭圆交于不同两点A,B，求三角形AOB面积的最大值及此时直线L的方程
我是高二学生，希望步骤尽量完整一点，谢谢啦

1.设椭圆方程为x²/a² +y²/b² =1（a＞b＞0），c²=a²-b²（c＞0）
a=2c ∴b=根号3 *c ∴x²/4c² +y²/3c² =1
把点（1，3/2）代入方程 得c²=1 ∴椭圆标准方程为x²/4 +y²/3 =1
2.设L为y=x+m， A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，L交x轴于点C（-m，0）
y=x+m与x²/4 +y²/3 =1联立，消x得7y²/12 -my/2 +m²/4 -1=0 ，
由韦达定理得y1+y2=6m/7，y1*y2=（3m²-12）/7 。
|y1-y2|=根号（48/7-48m²/49）
S△AOB=0.5 |y1-y2|*|-m|
S²△AOB=0.25（48/7-48m²/49）*m²=-12m^4 /49 +12m²/7=-12/49（m²-7/2）²+3
当m²=7/2时，S²△AOBmax=3 ，S△AOB=根号3.
此时m=±根号14 /2 ∴y=x±根号14 /2

不清楚的地方欢迎追问~

你好： （1）。由长轴长为焦距的2倍得：a=2c 联立a^2=b^2+c^2 有：b^2=3/4*a^2 设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 因为过点m（1，3/2）。 有：1/a^2+9/(4b^2)=1联立b^2=3/4*a^2，得：a^2=4,b^2=3 所以：椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1 (2).设直线方程为：y=k(x+1)，带入椭圆方程中有： 3x^2+4[k(x+1)]^2=12 即是：(3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0 设a(x1,y1),b(x2,y2)。由韦达定理： x1+x2= -8k^2/(3+4k^2) x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2) 所以：|ab|=√{(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]}=.....=12(1+k^2)/(3+4k^2)=18/5 解得：k=±√2/2 所以直线方程为：y=±√2/2(x+1) 回答完毕，谢谢！

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