如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．（Ⅰ）若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；（Ⅱ）已知数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足an2＝2n+1bn．若不等式2n?Sn＞m?2n?2an2对?n∈N*恒成立，求m的取值范围．

（Ⅰ）依题an+12?an2＝an2?an?12
?（an+1-an）（an+1+an）=（an-an-1）（an+an-1）
又{an}为等差数列，设公差为d，
则?d(an+1+an?an?an?1)＝0?2d2＝0?d＝0
故{an}是常数列．（4分）
（Ⅱ）由{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列．
即{an2}为首项为4，公差为2的等差数列，
a 2
n
＝4+2(n?1)＝2n+2（6分）
由an2＝2n+1bn得bn＝
an2
2n+1 ＝
2n+2
2n+1 ＝
n+1
2n Sn＝1+
3
22 +
4
23 +…+
n+1
2n          ①

1
2 Sn＝
2
22 +
3
23 +…+
n
2n +
n+1
2n+1   ②?
1
2 Sn＝1+
1
22 +
1
23 +…+
1
2n ?
n+1
2n+1 ＝
1
2 +1?
1
2n ?
n+1
2n+1 ＝
3
2 ?
1
2n ?
n+1
2n+1
?Sn＝3?
n+3
2n （10分）
不等式2n?Sn＞m?2n?2an2即3?2n-（n+3）＞m?2n-4n-4也即（m-3）?2n＜3n+1，即m?3＜
3n+1
2n 恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2n；n=4时，3n+1＜2n；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2k，
那么2k+1=2?2k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
由归纳法原理知：n≥4时，3k+1＜2k，
所以
3n+1
2n ＞0?m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3（14分）

(1)由题意： bn^2-bn-1^2=8, 令cn=bn^2,则｛cn｝为等差数列，d=8, 所以c7=c1+d(7-1)=49,即b7=7. (2)bn^2-bn-1^2=k, (bn+bn-1)(bn-bn-1)=k, 若为等差数列，则bn-bn-1=d,又bn为非常数列，所以bn+bn-1不为常数，等式不恒成立，即不可能为等差数列。 若为等比数列，bn^2-bn-1^2=(b1*q^n-1)^2-(b1*q^n-2)^2=b1^2*q^2n-4(q^3-1)=k 因为q不为1，则q^2n-4不为常数，则q^3-1=0,q=-1,只要是公比为-1的等比数列即可。

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