如何证明A是正规矩阵当且仅当A有n个标准正交特征向量.A是n阶复矩阵
答案:1 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-04-07 19:15
- 提问者网友：鐵馬踏冰河
- 2021-04-07 08:24
如何证明A是正规矩阵当且仅当A有n个标准正交特征向量.A是n阶复矩阵
最佳答案
- 五星知识达人网友：走死在岁月里
- 2021-04-07 09:23
A有n个标准正交特征向量也就是A可以酉对角化的意思
利用定义容易验证可酉对角化的矩阵是正规阵
对于必要性，先验证一个结论：
如果正规阵A分块成
A11 A12
A21 A22
那么||A12||_F=||A21||_F，其中||X||_F^2 = tr(X^*X) = sum |X(i,j)|^2
把正规阵A酉上三角化：Q^*AQ=T，那么T也是正规阵，然后用上面的结论得到T是对角阵
利用定义容易验证可酉对角化的矩阵是正规阵
对于必要性，先验证一个结论：
如果正规阵A分块成
A11 A12
A21 A22
那么||A12||_F=||A21||_F，其中||X||_F^2 = tr(X^*X) = sum |X(i,j)|^2
把正规阵A酉上三角化：Q^*AQ=T，那么T也是正规阵，然后用上面的结论得到T是对角阵
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