（2014?滨州）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于

（2014?滨州）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC？②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，
∴△APQ∽△CDQ．
（2）解：①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC=90°，
∵∠ADQ+∠QDC=90°， ∴∠DCA=∠ADP，
∵∠ADC=∠DAP=90°， ∴△ADC∽△PAD，
∴ AD PA = DC AD ， ∴ 10/PA = 20/10 ， 解得 PA=5， ∴t=5．
②设△AQP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为（10-h）．
∵△APQ∽△CDQ，
∴ h /10-h = AP /DC = t/ 20 ，
解得 h= 10t /(20+t )，
∴10-h= 200/(20+t) ，
∴S△APQ= 1/2 *AP*h= 5t²/(20+t) ， S△DCQ= 1/2 *DC*(10-h)= 2000/(20+t )， ∴y=S△APQ+S△DCQ= 5t²/(20+t） + 2000/(20+t) = （5t²+2000）/(20+t )（0≤t≤20）．
探究： t=0，y=100；
t=1，y≈95.48；
t=2，y≈91.82；
t=3，y≈88.91；
t=4，y≈86.67；
t=5，y=85；
t=6，y≈83.85；
t=7，y≈83.15；
t=8，y≈82.86；
t=9，y≈82.93；
t=10，y≈83.33；
t=11，y≈84.03；
t=12，y=85；
t=13，y≈86.21；
t=14，y≈87.65；
t=15，y≈89.29；
t=16，y≈91.11；
t=17，y≈93.11；
t=18，y≈95.26；
t=19，y≈97.56；
t=20，y=100；
观察数据知： 当0≤t≤8时，y随t的增大而减小； 当9≤t≤20时，y随t的增大而增大； 故y在第8秒到第9秒之间取得最小值．

∵ab=bc ∴∠c=∠a ∵be∥ba ∴∠epc=∠a(两直线平行，同位角相等） ∴∠epc=∠c ∴△pce是等腰三角形 ∵pf∥bc ∴∠fpa=∠c ∴∠a=∠fpa ∴△apf是等腰三角形

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