设函数f(x)=ka^x-a^(-x)(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值,判断并证明当a>1

设函数f(x)=ka^x-a^(-x)(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值,判断并证明当a>1时,函数f(x)在R上的单调性.(2)已知f(1)=3/2,函数g(x)=a^2x+a^(-2x)-2f(x),x∈[-1,1],求g(x)的值域.

由题意得f(-x)=-f(x)=>ka^(-x)-a^x=-ka^x+a^(-x)=>k[a^(-x)+a^x]-[a^(-x)+a^x]=0=>k-1=0 =>k=1 =>f(x)=a^x-a^(-x)(1) f(1)>0=>a-a^(-1)>0 (a>0)=>a^2>1=>a>1 即函数f(x)=a^x+[-a^(-x)]为增函数∵函数f(x)是奇函数∴f(x^2+2x)+f(x-4)＞0=>f(x^2+2x)>-f(x-4)=>f(x^2+2x)>f(-x+4)∴x^2+2x>-x+4 =>(x+4)(x-1)>0=>x1 即不等式f(x^2+2x)+f(x-4)＞0的解集为（-oo,-4）或（1,+oo)(2) g(x)=a^2x+a^-2x-4f(x)=[a^x-a^(-x)]^2+2-4f(x)=f(x)^2-4f(x)+2=[f(x)-2]^2-2∵f(1)=3/2∴a-a^(-1)=3/2 =>a=2∴函数f(x)递增=>(f(x)-2)min=0∴g(x)min=-2 即g(x)在[1,.正无穷大)上的最小值为-2.

只有第二小题，望采纳！ （2）f(1)=3/2  ∴a-a^(-1)=3/2 =>a=2 g(x)=a^2x+a^-2x-2f(x) =2^2x+2^-2x-2×2^x+2×2^-x =(2^x-2^-x)^2-2(2^x-2^-x)+2 令t=f（x）=2x-2-x，由（1）可知f（x）=2x-2-x为增函数 ∵x∈（-1，1） ∴t∈（3/2,3/2） y=h(t)=t^2-2t+2=(t-1)^2+1 ymin=h(1)=1 ymax=h(-3/2)=29/4 ∴g(x)的值域为[1，29/4]

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