已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2:x^2=4y有一个相同的焦点F1,直...

已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2:x^2=4y有一个相同的焦点F1,直...
已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2:x^2=4y有一个相同的焦点F1,直线L:y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点.(1)求直线L的方程.(2)若椭圆C1经过直线L的点P,当椭圆C1的离心率取得最大值时,求椭圆C1的方程及点P的坐标.

抛物线C2:x^2=4y的焦点F1坐标为F1（0,1）,所以椭圆C1中,c=1,焦点在y轴上.
又因为直线L:y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点,所以x^2=4(2x+m)只有唯一解,
所以：64+16m=0,所以m=-4,
(1)直线L的方程为：y=2x-4.
(2)因为椭圆两焦点F1(0,1),F2(0,2),且椭圆又过直线L上的点P,要使椭圆的离心率最大,只需PF1+PF2有最小值,只需求F2关于直线L的对称点F3到F1的距离即可.
易求F3(2,-3),所以直线F1F3方程为：y=-2x+1,
由两直线L与F1F3求交点P得：P(5/4,-3/2)；椭圆C1中,2a=F1F3=2根号5,a*2=5
b*2=4,所以椭圆方程为y^2/5+x^2/4=1.

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