已知数列｛an｝的前n项和Sn=n^2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于?

已知数列｛an｝的前n项和Sn=n^2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于?

S2=a1+a2=1+a2=2²×a23a2=1a2=1/3S3=a1+a2+a3=1+1/3+a3=3²×a38a3=4/3a3=1/6a1=1=2/[1×(1+1)] a2=1/3=2/[2×(2+1)] 3=1/6=2/[3×(3+1)]猜想：an=2/[n(n+1)]证：n≥2时,Sn=n²×an S(n-1)=(n-1)²×a(n-1)Sn-S(n-1)=an=n²×an-(n-1)²×an(n²-1)an=(n-1)²×a(n-1)(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)(n+1)an=(n-1)a(n-1)an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n…………a2/a1=1/3连乘an/a1=(1/3)(2/4)...[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]an=2a1/[n(n+1)]=2/[n(n+1)],n=1时,a1=2/(1×2)=1,同样满足.an=2/[n(n+1)],猜想正确.======以下答案可供参考======供参考答案1:Sn-S(n-1)=An, n^2An-(n-1)^2a(n-1)=An (n^2-1)An=(n-1)^2A(n-1) n^2-1=(n+1)(n-1) (n+1)An=(n-1)A(n-1) An/A(n-1)=(n-1)/(n+1) 用累乘法得An=(n-1)/(n+1) * (n-2)/n * (n-3)/(n-1)*........*2/4 *1/3=2/[(n+1)*n]

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