复数和实数的运算有什么相同和不同？
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解决时间 2021-03-14 20:22
- 提问者网友：暗中人
- 2021-03-14 15:03
复数和实数的运算有什么相同和不同？
最佳答案
- 五星知识达人网友：青尢
- 2021-03-14 15:27
数集扩充的其中一条原则就是：数集扩充后的数学法则与扩充前的数学法则不得矛盾。
所以，运算性质在实数集扩充为复数集后依然保留。即复数运算与实数运算其实一样的。
但是，复数的开方运算有点意思：任意一个复数必然有且只有N个N次方根。追问请问，复数怎样开方？追答先讲一下整次方根。
求复数Z的N次方根，先把Z换成三角形式Z=r(cosΘ+isinΘ)
第一步：求Z的模r的算术N次方根，得到的结果就是根的模，所有根的模相等。
第二步：将周角2π的（M-1）/N加上Z的幅角Θ，得到的结果就是第M个根的幅角。
从几何上讲，复数的N个N次方根用向量表示则会把周角均分为N份
我举个例子，以求1的4次方根为例。
先把1写成三角形式1=1（cos0+isin0），1必有且只有4个4次方根
第一步：1的模是1，1的算术4次方根是1，所以所有根的模都是1
第二步：1的幅角是0，那么这4个根的幅角分别是
0+2π*(0/4)=0、0+2π*(1/4)=π/2、0+2π*(2/4)=π、0+2π*(3/4)=3π/2
所以1的4个4次方根分别是
1(cos0+isin0)、1(cos(π/2)+isin(π/2))、1(cosπ+isinπ)、1(cos(3π/2)+isin(3π/2))
这4个根恰好把周角均分为4份
若换成代数式，则这4个根是1、i、-1、-i追问我才上初一，不懂三角函数，您能说一下怎么用二元二次方程开方吗？追答我以为你学习的是高等数学，那就没有必要多说了。
我先纠正一下，刚刚的追答有一个笔误，根的幅角Θ要除以N
你的追问是二次方程，那我就单单讲平方根好了。
解一元二次方程可套用公式法，公式的 b²-4ac 需要开平方。
正实数或0开平方就和你所学习的一样。
负实数开平方可以这样：设a>0，则√(-a)=√(-1)√a=i√a
运算依据是 i²=-1追问这个我知道，我才上初一，但是我想用二元二次方程对复数开平方。追答二元二次方程的一般式是： Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
这种方程往往与二次曲线有关，与复数开方没多大关系吧！
若要进行复数运算，形式转化是必修课。
因为一级运算以代数形式较为方便。
二级运算与三级运算以三角形式或指数形式较为方便。
我举个例子。
代数形式的a+bi与c+di相加，只要合并同类项即可。若要进行乘法运算呢？
(a+bi)(c+bi)这样的二项式乘法很烦人的，但是换成三角形式的话……
r1(cosΘ1+isinΘ1)与r2(cosΘ2+isinΘ2)相乘等于r1r2(cos(Θ1+Θ2)+isin(Θ1+Θ2))
即两个复数相乘，只要模相乘，幅角相加即可
回到开方话题，复数开方“只要模开方，幅角除以根指数”即可。
所以三角形式比较方便。
例如求-4的平方根。
把-4换成三角形式，-4=4(cosπ+isinπ)
第一步：求模，4的算术平方根是2，即模是2
第二步：求幅角，π/2+2π(0/2)=π/2 与 π/2+2π(1/2)=3π/2
所以-4的两个平方根是 2(cos(π/2)+isin(π/2)) 与 2(cos(3π/2)+isin(3π/2))
换成代数形式就是 2i 与 -2i追问我百度了一下，看见用二元二次方程开方，但毕竟学历不高，离复数还有那么几年。追答你现在还能找到当时的例子吗？让我看看那个方程。
我猜应该是解题者在解方程时使用了开方运算，
果真那样的话，那是解方程的问题，而不是开方的问题。追问a+bi=(x+yi)²追答我知道了，这题本质上是要对复数 a+bi 开平方，且根最后必须表示成代数形式。
结果如下：x=a, y=b 或 x=-a, y=-b追问您的意思是√a+bi=a+bi或-a-bi吗？追答一时大意，我计算错了。
(x+yi)²=(x²-y²)+2xyi=a+bi
所以得到二元二次方程组
x²-y²=a
2xy=b追问也就是说能够利用二元二次方程对复数吗？追答刚刚的那个方程组可以变形成这个方程
4(x²)²-4ax²-b²=0
套入公式可求得 x²，然后求得 x。代入原方程组即可求得 y
这只是个解方程组的问题，况且这个方程组是实系数的追问什么公式啊？追答4(x²)²-4ax²-b²=0 本质上是一元二次方程 f(x²)，套入一元二次方程求根公式即可
刚刚的追答是以代数形式求解，很烦人。你套入公式去求估计你也觉得烦人。
我刚刚在草稿上以三角形式求出了 a+bi 的两个平方根
(√(a²+b²))(cos(arctan(b/a)/2)+isin(arctan(b/a)/2))
(√(a²+b²))(cos(arctan(b/a)/2+π)+isin(arctan(b/a)/2+π))
所以，运算性质在实数集扩充为复数集后依然保留。即复数运算与实数运算其实一样的。
但是，复数的开方运算有点意思：任意一个复数必然有且只有N个N次方根。追问请问，复数怎样开方？追答先讲一下整次方根。
求复数Z的N次方根，先把Z换成三角形式Z=r(cosΘ+isinΘ)
第一步：求Z的模r的算术N次方根，得到的结果就是根的模，所有根的模相等。
第二步：将周角2π的（M-1）/N加上Z的幅角Θ，得到的结果就是第M个根的幅角。
从几何上讲，复数的N个N次方根用向量表示则会把周角均分为N份
我举个例子，以求1的4次方根为例。
先把1写成三角形式1=1（cos0+isin0），1必有且只有4个4次方根
第一步：1的模是1，1的算术4次方根是1，所以所有根的模都是1
第二步：1的幅角是0，那么这4个根的幅角分别是
0+2π*(0/4)=0、0+2π*(1/4)=π/2、0+2π*(2/4)=π、0+2π*(3/4)=3π/2
所以1的4个4次方根分别是
1(cos0+isin0)、1(cos(π/2)+isin(π/2))、1(cosπ+isinπ)、1(cos(3π/2)+isin(3π/2))
这4个根恰好把周角均分为4份
若换成代数式，则这4个根是1、i、-1、-i追问我才上初一，不懂三角函数，您能说一下怎么用二元二次方程开方吗？追答我以为你学习的是高等数学，那就没有必要多说了。
我先纠正一下，刚刚的追答有一个笔误，根的幅角Θ要除以N
你的追问是二次方程，那我就单单讲平方根好了。
解一元二次方程可套用公式法，公式的 b²-4ac 需要开平方。
正实数或0开平方就和你所学习的一样。
负实数开平方可以这样：设a>0，则√(-a)=√(-1)√a=i√a
运算依据是 i²=-1追问这个我知道，我才上初一，但是我想用二元二次方程对复数开平方。追答二元二次方程的一般式是： Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
这种方程往往与二次曲线有关，与复数开方没多大关系吧！
若要进行复数运算，形式转化是必修课。
因为一级运算以代数形式较为方便。
二级运算与三级运算以三角形式或指数形式较为方便。
我举个例子。
代数形式的a+bi与c+di相加，只要合并同类项即可。若要进行乘法运算呢？
(a+bi)(c+bi)这样的二项式乘法很烦人的，但是换成三角形式的话……
r1(cosΘ1+isinΘ1)与r2(cosΘ2+isinΘ2)相乘等于r1r2(cos(Θ1+Θ2)+isin(Θ1+Θ2))
即两个复数相乘，只要模相乘，幅角相加即可
回到开方话题，复数开方“只要模开方，幅角除以根指数”即可。
所以三角形式比较方便。
例如求-4的平方根。
把-4换成三角形式，-4=4(cosπ+isinπ)
第一步：求模，4的算术平方根是2，即模是2
第二步：求幅角，π/2+2π(0/2)=π/2 与 π/2+2π(1/2)=3π/2
所以-4的两个平方根是 2(cos(π/2)+isin(π/2)) 与 2(cos(3π/2)+isin(3π/2))
换成代数形式就是 2i 与 -2i追问我百度了一下，看见用二元二次方程开方，但毕竟学历不高，离复数还有那么几年。追答你现在还能找到当时的例子吗？让我看看那个方程。
我猜应该是解题者在解方程时使用了开方运算，
果真那样的话，那是解方程的问题，而不是开方的问题。追问a+bi=(x+yi)²追答我知道了，这题本质上是要对复数 a+bi 开平方，且根最后必须表示成代数形式。
结果如下：x=a, y=b 或 x=-a, y=-b追问您的意思是√a+bi=a+bi或-a-bi吗？追答一时大意，我计算错了。
(x+yi)²=(x²-y²)+2xyi=a+bi
所以得到二元二次方程组
x²-y²=a
2xy=b追问也就是说能够利用二元二次方程对复数吗？追答刚刚的那个方程组可以变形成这个方程
4(x²)²-4ax²-b²=0
套入公式可求得 x²，然后求得 x。代入原方程组即可求得 y
这只是个解方程组的问题，况且这个方程组是实系数的追问什么公式啊？追答4(x²)²-4ax²-b²=0 本质上是一元二次方程 f(x²)，套入一元二次方程求根公式即可
刚刚的追答是以代数形式求解，很烦人。你套入公式去求估计你也觉得烦人。
我刚刚在草稿上以三角形式求出了 a+bi 的两个平方根
(√(a²+b²))(cos(arctan(b/a)/2)+isin(arctan(b/a)/2))
(√(a²+b²))(cos(arctan(b/a)/2+π)+isin(arctan(b/a)/2+π))
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- 1楼网友：第幾種人
- 2021-03-14 15:49
复数集是实数集的扩展,在扩展中引入新数“i”既虚数单位因此实数a成为复数a+bi在b=0时的特殊情况.复数运算和实数运算都是数的运算。
数是数学的基础，数的本质在于运算。复数集是实数集的扩展，在扩展中引入新数“i”,既虚数单位,因此实数a成为复数a+bi在b=0时的特殊情况.复数运算和实数运算都是数的运算，因此它们有许多类似的性质，如果在复数运算的教学中借助于类比思想方法，通过对实数运算的回忆类比，可以使学生猜想出复数运算的规律与特点
复数的整数次幂的运算法则跟实数运算一样 ，复数的分数次幂的运算不能如这些实数的法则。
复数的加法按照以下规定的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，
即对任意复数z1,z2,z3,有: z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
复数x被定义为二元有序实数对(a,b) ，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数的四则运算规定为:加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;乘法法则:(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;除法法则:(a+bi)÷(c+di)=[(ac
数是数学的基础，数的本质在于运算。复数集是实数集的扩展，在扩展中引入新数“i”,既虚数单位,因此实数a成为复数a+bi在b=0时的特殊情况.复数运算和实数运算都是数的运算，因此它们有许多类似的性质，如果在复数运算的教学中借助于类比思想方法，通过对实数运算的回忆类比，可以使学生猜想出复数运算的规律与特点
复数的整数次幂的运算法则跟实数运算一样 ，复数的分数次幂的运算不能如这些实数的法则。
复数的加法按照以下规定的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，
即对任意复数z1,z2,z3,有: z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
复数x被定义为二元有序实数对(a,b) ，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数的四则运算规定为:加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;乘法法则:(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;除法法则:(a+bi)÷(c+di)=[(ac
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