已知函数f(x)=x+1/x (1)讨论函数在x€[3,4]上的单调性，并证明之；（2）求函数在x€[3,4]上的最值

已知函数f(x)=x+1/x (1)讨论函数在x€[3,4]上的单调性，并证明之；（2）求函数在x€[3,4]上的最值

f'(x)=1-1/x^2=0

x^2=1

x=1 or -1

所以 (-∞,-1] 和[1,+∞) 递增

得[3,4]为递增

且4在[3,4]为最大

f(4)=4+1/4=17/4

f（x）=x+1/x

1、设3≤x1＜x2≤4

∴f（x1）-f（x2）

=(x1+1/x1)-(x2-1/x2)

=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)

=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2

=(x1-x2)-(x1-x2)/x1x2

=(x1-x2)(1-1/x1x2)

=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2

∵3≤x1＜x2≤4

∴x1-x2＜0，x1x2＞1

∴f（x1）-f（x2）=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2＜0

∴f（x1）＜f（x2）

故f（x）在[3，4]上单调递增

1.对f(x)求导，得 1-1/（x^2）, 很明显在X>1 或者x<-1 的区域里，f(x)的导数是大于0的，

即：当x>1 或者 x<-1时，f(x)单调递增。

2. 因为f(x)单调递增， 所以f(x)在[3,4]的最小值为f(3)=10/3 最大值为 f(4)=17/4

f'(x) = 1 - 1/x^2

x€[3,4]的时候，f'(x)>0

因此f(x)在x€[3,4]是单调增的函数。

既然是单调增，那么fmin=f(3)=3+1/3, fmax=f(4)=4+1/4

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