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多项式有理根的一个问题f(x)为首相系数为1的整系数多项式 f(-1) f(0) f(1)都不能被3

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解决时间 2021-02-05 05:14
  • 提问者网友:孤山下
  • 2021-02-04 16:31
多项式有理根的一个问题f(x)为首相系数为1的整系数多项式 f(-1) f(0) f(1)都不能被3
最佳答案
  • 五星知识达人网友:山河有幸埋战骨
  • 2021-02-04 16:54
反证法:因为f(x)是首项系数为1的整系数多项式,所以如果f(x)有有理根,那么它一定有整根.不妨设这个整根为k.设 f(x)= an*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ...+ a1*x + a0.(1)若k能被3整除,则 k=3a,a是整数.因此由 f(k)=0 可知 a0 必定能被3整除,但是由 f(0)=a0 不能被3整除,矛盾.(2)若k被3除余数是1,则 k^i 被3除余数也是1(设 k=3a+1,二项式定理简单验证一下即可),此时 f(k) 被3除的余数为 an+a(n-1)+...+a0,由 f(k)=0 可知必有 an+a(n-1)+...+a0 能被3整除.但由 f(1)=an+a(n-1)+...+a0 不能被3整除,矛盾.(3)若k被3除余数是-1,因此 f(k) 被3除余数为 an*(-1)^n+...+a0,这正是 f(-1)被3除的余数.但是f(-1)不能被3整除,而 f(k)=0,矛盾.综上,f(x)没有有理根.
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  • 1楼网友:等灯
  • 2021-02-04 17:09
这个解释是对的
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