如图，在△ABC中，角BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：AD是EF的垂直平分线；。

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∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
∵AD是角BAC的平分线
∴∠DAE=∠DAF
∵AD=AD
∴△ADE ≌△ADF
∴AE=AF DE=DF
∴点A和点D在EF的垂直平分线上
∴AD是EF的垂直平分线

设ef于ad交于h

因为ab=ac   ad⊥bc   所以bd=dc    ∠bad=∠cad

又因de⊥ab于e,df⊥ac于f,    所以rt△aed≌rt△afd    就有ae=af

因为∠bad=∠cad   ae=af    ah=ah    所以△aeh≌△afh    ∴eh=hf    ∠ahe=∠ahf

   又因∠ahe+∠ahf=180°    所以 ∠ahe=∠ahf=90°   即ah⊥ef

所以ad垂直平分线ef（ah与ad在同一直线上）

∵，在△ABC中，角BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF.∵Rt△AED≌Rt△AFD.(HL)∴AE=AF,∴AD是EF的垂直平分线（等腰三角形顶角平分线与底边高中线重合）

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