advanced mathmatics~~~高等数学】关于 Newton-Cotes formulae(系列公式)~树上的说法，是否正确？
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解决时间 2021-03-21 18:32
- 提问者网友：缘字诀
- 2021-03-21 11:14
advanced mathmatics~~~高等数学】关于 Newton-Cotes formulae(系列公式)~树上的说法，是否正确？
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒醒三更
- 2021-03-21 12:42
直观上，好像是n越大，近似值的近似程度就越高，但是这里还涉及到一个算法的稳定性问题，就是公式中用到的函数值f0,f1,f2之类的，在实际计算中多是带有误差的，“差之毫厘”，这些误差累积起来，对结果的影响有可能是巨大的，导致最终算出来的近似值与准确值“谬之千里”。
从书上给出的低阶公式的表达式可知，当n≤7时，所有的cote系数都是正的，从n=8开始，系数开始出现负的，且可以证明所有的cotes系数的绝对值之和当n→∞时的极限是+∞，所以不适宜使用太大的n。
其次，我们当然想让所得近似求积公式适用于更多的连续函数f(x)，但是可以找到反例，使得求积公式序列不收敛。
所以，基于稳定性、收敛性的考虑，选择低阶的N-C公式或Gauss型公式，然后“复化”。
另外，通过对求积公式的误差的推导，当n为偶数时，相比之下误差更小一些，所以选择n=2时的Simpson公式以及n=4时的Boole公式更好。追问shouxian首先，不得不说，劳烦老师费了很大的心血，表示剧烈的谢忱！
1）【从n=8开始，系数开始出现负的】，这我理解啦【从下面的1图】
2）【这些误差累积起来，对结果的影响有可能是巨大的】这句话，不理解？就是说，
牛-哥系列公式，发展到后面，无非是，插值插得越来越多，点去的越来越多！
但问题是，这怎么会导致误差越来越大？从几何图形上、直觉上看，怎么看出来的呢？
追答N-C公式的基础是插值法，在高次插值里面有个Runge现象，就是对于某些函数来说，在某些区间之内，插值多项式序列{Ln(x)}不一致收敛于被插值函数，比如f(x)=1/(1+x²)，区间是[-5,5]，从图象上看，越靠近端点±5，{Ln(x)}与f(x)的误差越大。反映在数值积分里面，就会出现前面说过的稳定性与收敛性问题。追问我先已经把您的这段话，抄下来啦 in my notebook！
然后，我昨天，坐在车上回去的时候，也在思考一个更常识、更基础的问题：
从书上给出的低阶公式的表达式可知，当n≤7时，所有的cote系数都是正的，从n=8开始，系数开始出现负的，且可以证明所有的cotes系数的绝对值之和当n→∞时的极限是+∞，所以不适宜使用太大的n。
其次，我们当然想让所得近似求积公式适用于更多的连续函数f(x)，但是可以找到反例，使得求积公式序列不收敛。
所以，基于稳定性、收敛性的考虑，选择低阶的N-C公式或Gauss型公式，然后“复化”。
另外，通过对求积公式的误差的推导，当n为偶数时，相比之下误差更小一些，所以选择n=2时的Simpson公式以及n=4时的Boole公式更好。追问shouxian首先，不得不说，劳烦老师费了很大的心血，表示剧烈的谢忱！
1）【从n=8开始，系数开始出现负的】，这我理解啦【从下面的1图】
2）【这些误差累积起来，对结果的影响有可能是巨大的】这句话，不理解？就是说，
牛-哥系列公式，发展到后面，无非是，插值插得越来越多，点去的越来越多！
但问题是，这怎么会导致误差越来越大？从几何图形上、直觉上看，怎么看出来的呢？
追答N-C公式的基础是插值法，在高次插值里面有个Runge现象，就是对于某些函数来说，在某些区间之内，插值多项式序列{Ln(x)}不一致收敛于被插值函数，比如f(x)=1/(1+x²)，区间是[-5,5]，从图象上看，越靠近端点±5，{Ln(x)}与f(x)的误差越大。反映在数值积分里面，就会出现前面说过的稳定性与收敛性问题。追问我先已经把您的这段话，抄下来啦 in my notebook！
然后，我昨天，坐在车上回去的时候，也在思考一个更常识、更基础的问题：
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