平面上任意五个点都落在格点上，试证明至少有两个点的中点也落在格点上

平面上任意五个点都落在格点上，试证明至少有两个点的中点也落在格点上

可以认为格点是以整数为坐标的点.
点落在格点上,即其坐标为整数.设:Ai( xi, yi ) , xi, yi 均为整数. ( i = 1,2,3 4,5.)
Ai, Aj 的中点为 ( (xi + xj)/2, (yi+yj)/2 ).
当且仅仅当: xi, xj 同为奇数或同为偶数,
且 yi, yj 同为奇数或同为偶数时,它们的中点坐标为整数,
因为整数就分为奇数和偶数两种,故
A1,A2, A3, A4, A5 这五个点中至少有三个点的横坐标有相同的奇偶性.
不妨设:A1, A2, A3, 均为奇数 (或均为偶数) (a)
A1, A2, A3 中至少的两个点的纵坐标有相同的奇偶性.
不妨设A1, A2的纵坐标奇偶性相同.(同为奇数或同为偶数) (b)
由(a), (b)知:A1,A2的横坐标有相同的奇偶性,且纵坐标也有相同的奇偶性.
故其中点具有整数坐标, 即其中点也为格点.
命题得证.

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