一元二次函数的问题

y=ax²+bx+c 的函数图像、 与a、b、c值有和关系？

（如：当a>0时、开口向上）

所有的说下、 就是它所在的象限、。

因变量y之间存在如下关系：

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k

　　交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

　　重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）

　　二次函数表达式的右边通常为二次。

　　x是自变量，y是x的二次函数

　　x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

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不同的二次函数图像

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　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax&sup2;+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　即ax&sup2;+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1．二次函数y=ax&sup2;，y=a(x-h)&sup2;，y=a(x-h)&sup2; +k，y=ax&sup2;+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式

　　y=ax&sup2;

　　y=ax&sup2;+K

　　y=a(x-h)&sup2;

　　y=a(x-h)&sup2;+k

　　y=ax&sup2;+bx+c

　　

　　顶点坐标

　　(0，0)

　　(0，K)

　　(h，0)

　　(h，k)

　　(-b/2a，sqrt[4ac-b&sup2;]/4a)

　　

　　对 称 轴

　　x=0

　　x=0

　　x=h

　　x=h

　　x=-b/2a

　　

　　当h>0时，y=a(x-h)&sup2;的图象可由抛物线y=ax&sup2;向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax&sup2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象；

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax&sup2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)&sup2;+k的图象；

　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)&sup2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

　　2．抛物线y=ax&sup2;+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b&sup2;]/4a)．

　　3．抛物线y=ax&sup2;+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

　　4．抛物线y=ax&sup2;+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　(2)当△=b&sup2;-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax&sup2;+bx+c=0

　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

　　5．抛物线y=ax&sup2;+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b&sup2;)/4a．

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax&sup2;+bx+c(a≠0)．

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)&sup2;+k(a≠0)．

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

c为与y轴交点

a大于0，开口向上

b^2 -4ac>0则图像在x轴上下都有，

小于0则在x轴上，与x轴无交点

b>o,则对称轴在y轴左边，<o在右边

a小于0，相反

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