小船渡河的解题方法

小船渡河的解题方法

 

（1）怎样渡河时间最短？

（2）若v_水＜v_船，怎样渡河位移最小？

（3）若v_水＞v_船，怎样渡河船漂下的距离最短？

【分析与解答】：

   (1)如图1—1所示，设船的航向与河岸成任意角θ斜向上，这时船速在y轴方向上的分速度为v _y=v_船sinθ,渡河所需的时间为L/v_船sinθ

可以看出：在L、v_船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90⁰时，sinθ=1,最大，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且t_min=L/v_船

   (2)如图1—2所示，渡河的最小位移即河的宽度L,要使渡河位移等于L,必须使船的合速度v的方向与河岸垂直。此时船沿河岸方向的速度分量v_x=0，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，    即v_水-v_船cosθ=0，θ=arccosv_水/v_船

因为0≤θ≤1，所以只有在v_水＜v_船时，船才有可能垂直河岸横渡。

   (3)则不论船的航向如何，总要被水冲向下游，怎样才能使船的航程最短呢？如图1—3所示，设船头(v_船)与河岸成θ角，合速度(v)与河岸成α角，可以看出：α角越大，船到下游的距离x越短。那么，在什么条件下，α角最大呢？

可见，以v_水的矢尖为圆心，为半径画圆，当与圆相切时如图1—4，角最大。 此时sinα=v_船/v_水，

船的最短航程为s=d/sinα=dv_船/v_水

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