在1<|z-1|<无穷内,将f(z)=1/z(1-z)^5展开为洛朗级数

在1<|z-1|<无穷内,将f(z)=1/z(1-z)^5展开为洛朗级数

令t=z-1，那么对应的展开区域为1<|t|<+∞。
被展开的函数为1/(t+1)(-t)^5=-1/(1+t)t^5
因为t的模大于1，所以
1/(1+t)=1/t(1+1/t)，因此被展开的函数化为-1/(1+1/t)t^6。
又因为
|1/t|<1，所以
1/(1+1/t)=1/(1-(-1/t))=Σ(-1/t)^n，其中n从0到正无穷大。
所以被展开的函数为
-1/(1+1/t)t^6=-Σ(-1/t)^n/t^6=Σ[(-1)^(n+1)*t^(-n-6)]，其中n从0到+∞
然后再把t=z-1即代入，得到所求的洛朗级数为
Σ[(-1)^(n+1)*(z-1)^(-n-6)]，其中n从0到+∞

解：∵1<丨z-1丨<+∞，∴0<1/丨z-1丨<1。 又，f(z)=1/[z(1-z)^5]=(1/z)/(1-z)^5，而1/z=1/[(z-1)+1]=[1/(z-1)]/[1+1/(z-1)]， ∴在其收敛域内，1/z=∑[(-1)^n]/(z-1)^旦乏测何爻蛊诧坍超开(n+1)，n=0,1,2,……，∞， ∴f(z)=∑[(-1)^(n-1)]/(z-1)^n，n=6,7,……，∞。 供参考。

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