归纳定义与普通的定义

归纳定义与普通的定义

归纳定义(inductive definition)
归纳定义又称递归定义，是定义集合的一种方法，对于用归纳定义给出的集合，要证明其中所有的元都有某个性质，通常用归纳证明。
集合的归纳定义通常包括若干规则，用来生成其中的元，然后再说明，只有由这些规则生成的对象才是这个集合的元。
归纳定义的一种等价的陈述是将所要定义的集合刻画成封闭于这些规则的最小的集。
归纳定义的结构：
1.基础条款：
2.规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定 。
3.归纳条款：
4.规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则 。
5.终极条款：
6.规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员。
基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员。
终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象。

定义有不同的方式和技术：
一、词法定义描述一个词或者一个表达的意义，一般一个词法定义提供一个与原词相当的表达。比如将“单身汉”定义为“未婚男子”，或者将“煎”定义为在“热油中烧”。有些词如“如果”无法有效地使用其它词来同义描写，词典对这些词一般通过描写其特性的方法来给予一个定义，而不是通过提供一个相当的表达的方式。
二、情境定义也称上下文定义。有些词无法清晰地定义，但可以通过为所有这个词出现的句子提供一个解释来为这个词做一个定义。也就是说通过使用一个不出现这个词的句子来解释这个词在这个句子里的意义。
三、内涵定义是将一个物件与其它物件之间不同的所有特征列举出来。比如“所有小于20的质数的集合”是一个特定的集合的内涵定义。
四、外延定义是描述一个概念或者词的外延，即所有这个概念或者词所包含的事务。
列举定义是一个特别的外延定义，它列出一个概念或者词所描写的所有的物件。列举定义只适用于有限集合，而且只有在这个集合比较小的情况下才有意义。
五、实物定义又称直观释义或实指定义。实物定义是指指定一个词所代表的物件来表达这个词的意思，或者指定数个代表性的物件来表达这个词的意思。一个例子是给某人看吉米·威尔士的图像来表示“吉米·威尔士”这个词的意思，或者给某人看数个典型的狗来说明“狗”的概念。
一个量的操作定义是这个量的测量过程。
六、理论定义是使用一个学科的理论对一个词作一个定义，比如“米是光在真空中在1/299,792,458秒所传播的距离”。这个定义是基于狭义相对论的理论做出的定义。
七、本义狭义定义（definition by genus and difference）首先列出一个狭义词的广义词，然后说明这个狭义词与这个广义词中不属于这个狭义词的物件之间的区别。
八、递归定义又称归纳定义，它是使用有意义的方式用一个词来定义这个词本身。一般来说这样的定义包括两个步骤：首先一个或数个特定的物件属于被定义项的集合X；其次所有与X中的元素有一定关系的物件，而且只有与X中的元素有这个关系的物件也属于X。比如以下为自然数的递归定义：首先1是一个自然数，其次比自然数大1的数也是自然数，所有其它数都不是自然数。在做递归定义时要小心避免循环定义。
九、循环定义是假设别人已经对被定义项有一定的了解。比如“蛋是鸡生的卵，鸡是从蛋里孵出来的”就是这样一个循环定义。假如别人即不知道鸡是什么，又不知道蛋是什么的话这个定义毫无用处。（参见重言式）
十、规定性定义又称规创定义或约定定义，是指将一个定义或者讨论的内容规定在一个范围内。比如有人想要解释啤酒是怎样酿的但不知道清酒是不是啤酒的一种。他可以开篇说：“我所说的啤酒仅包括用小麦酿的啤酒。”
十一 、厘定性定义是对词法定义添加附加的条件来延伸词法定义中的定义，更加缩小定义的规范。
劝导性定义又名说服性定义，是指将一个词定义为一个特别观点的理由，但却保持了词法定义的形式。
要分析一个定义的好坏要注意定义的特性，其中最重要的是其外延、内涵、歧义和含糊度。
列举定义指出一定的例子来让对方认识到一个词的意义。
外延定义列举出一个词的所有元素。
内涵定义列出一个词的特征，这个定义往往比外延定义更紧凑。参考资料：百科

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