已知过点A（0，2）的直线l与椭圆C:x²／3+y²=1交于P,Q两点 1 若直线l的斜率为k
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解决时间 2021-11-15 03:24
- 提问者网友：川水往事
- 2021-11-14 12:29
已知过点A（0，2）的直线l与椭圆C:x²／3+y²=1交于P,Q两点 1 若直线l的斜率为k
最佳答案
- 五星知识达人网友：爱难随人意
- 2021-11-14 13:43
(1)把l:y=kx+2,①
代入x^2/3+y^2=1得
x^2+3(k^2x^2+4kx+4)=3,
整理得(1+3k^2)x^2+12kx+9=0,
△/36=4k^2-(1+3k^2)=k^2-1>0,
解得k>1或k<-1,为所求.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-12k/(1+3k^2),x1x2=9/(1+3k^2),
由①，y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k^2*x1x2+2k(x1+x2)+4,
以P,Q为直径的圆经过点E(1，0),
∴向量EP*EQ=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(1+k^2)x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5
=[9(1+k^2)-12k(2k-1)+5(1+3k^2)]/(1+3k^2)=0,
∴9+9k^2-24k^2+12k+5+15k^2=0,
∴12k=-14,k=-7/6,
∴l:y=-7x/6+2.
代入x^2/3+y^2=1得
x^2+3(k^2x^2+4kx+4)=3,
整理得(1+3k^2)x^2+12kx+9=0,
△/36=4k^2-(1+3k^2)=k^2-1>0,
解得k>1或k<-1,为所求.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-12k/(1+3k^2),x1x2=9/(1+3k^2),
由①，y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k^2*x1x2+2k(x1+x2)+4,
以P,Q为直径的圆经过点E(1，0),
∴向量EP*EQ=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(1+k^2)x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5
=[9(1+k^2)-12k(2k-1)+5(1+3k^2)]/(1+3k^2)=0,
∴9+9k^2-24k^2+12k+5+15k^2=0,
∴12k=-14,k=-7/6,
∴l:y=-7x/6+2.
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