一道均值不等式的简单问题

在三角形ABC中。a+b=10，C=120度，求三角形周长的最小值？（要有过程）

cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2.
(a+b)^2-c^2=ab,
(a+b+c)(a+b-c)=ab
令Y=a+b+c

则Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
要使Y最小,c就必须最小,则a,b就必须有最大值.
a+b≥2√ab,(a>0,b>0,)当且仅当a=b时,ab有最大值

即a+b=10=2a,a=5.
cosC=cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab
c^2=2*5^2-2*5*5*(-1/2)=25*3
c=5√3
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c)
=25/(10-5√3)=10+5√3.
△ABC周长的最小值为10+5√3.

根据余弦定理:

c²=a²+b²-2ab*cosC=a²+b²+ab=(a+b)²-ab

c=√(100-ab)

三角形周长=a+b+c=10+√(100-ab)

a,b>0

因为((a+b)/2)²>=ab

,当且仅当a=b时等号成立!

即ab的最大值为25

则周长的最小值为:10+√(100-ab)=10+√75=10+5√3

哪里不懂可以问我!谢谢!

首先由余弦定理可知

-1/2=(a^2+b^2-c^2)/2ab

化简得：a^2+b^2-c^2+ab=0

(a+b)^2-ab-c^2=0

c^2=100-ab

又因为a+b》2根号下ab

所以ab《25

c^2》75

c》5根号3

a+b+c》10+5根号3

4c²=4（a²+b²-2ab*cosC）=4（a²+b²-2ab*cos120°）=4（a²+b²+ab）= （a²+b²）+（a²+b²）+（a+b）²

≥（a²+b²）+2ab+（a+b）²=2（a+b）²=2*10²。c≥5√2.

a+b+c≥10+5√2

b=10-a,c=√[a²+(10-a)²+a(10-a)]=√[(a-5)²+75],

L=10+√[(a-5)²+75]≥10+5√3,a=b=5时周长最小=10+5√3.

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