如何证明函数在一个区间无界

函数y=1/x*sin(1/x)在区间(0，1】内无界，但当x趋于0+时这个函数不是无穷大。请证明？

首先比较一下无穷大和无界的区别。以数列为例（函数的情况类似），无穷大的定义是：对任意的M>0，存在N，使得n>M时，有|xn|>M；而对于无界，可以根据有界的定义及对偶法则得到定义：对任意M>0，存在n，使得|xn|>M。对比这两个定义，可以发现无穷大的要求要比无界高，因为无穷大要求从数列的某一项起，后面所有项都要可以大于任意给定的正数，而无界只要求存在某些可以大于任意给定正数的项即可，形象地说就是，无穷大量整体是持续增大的，只能有较小的波动，而无界量增大过程中可以伴随着很大的波动（例如你的问题）。从定义还可以得到无穷大量一定无界，但无界不一定是无穷大量，也就是说无穷大比无界更“强”的概念。回到你的问题，取数列xn=1/(2nπ+π/2)，则当n趋于∞时xn是趋于0+的，这时yn=(2nπ+π/2)sin(2nπ+π/2)=2nπ+π/2可以大于任意给定正数M，因此y无界，但是取另一数列xn=1/(2nπ)，则yn=(2nπ)sin(2nπ)=0，即在x趋于0+的过程中y无限次取0，这显然不满足无穷大的要求，因此x趋于0+时y不是无穷大量。

证明这个函数在这个区间呢没有极限就行了，利用极限的定义证明就行了~

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