高中数学（集合应用）

已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,Sn/n ) |n∈N*},B={(x,y)|1/4  x^2－y^2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.
(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B 至多有一个元素；
(3)当a1≠0 时，一定有A∩B≠ ∅ .

解：

(1)正确.在等差数列{an}中，

    

    则
    

    这表明点(an,Sn/n）的坐标适合方程y= 1/2 (x+a1),

    于是点(an,Sn/n )均在直线y= 1/2 x+1/2a1)上.
(2) 正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组
    
    的解，由方程组消去y得：2a1x+a1^2=－4(*)，

    当a1=0 时，方程(*)无解，此时A∩B= ∅ ；

    当a1≠0 时，方程(*)只有一个解

    

    此时，方程组也只有一解
    

    故上述方程组至多有一解.
    ∴A∩B 至多有一个元素.
(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0,
    Sn/n>0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，

    另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠ ,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,

    而

    这样的(x0,y0）∉A,产生矛盾，

    故a1=1,d=1 时A∩B=∅，

    所以a1≠0 时，一定有A∩B≠∅是不正确的.

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