由已知条件求an
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解决时间 2021-03-30 05:14
- 提问者网友：鼻尖触碰
- 2021-03-29 07:28
由已知条件求an
最佳答案
- 五星知识达人网友：往事埋风中
- 2021-03-29 09:02
a(n+1) = (an^2 +3)/(an +1)
如果an>0，则：a(n+1)>0
因为a1=1>0，所以，对于任意的n，都有an>0
如果an<3，则：a(n+1) = (an^2 +3)/(an +1) < (3an +3)/(an +1) = 3，即a(n+1)<3
而因为a1=1<3，所以，对于任意的n，都有an<3
所以：a(n+1)-an=(an^2 +3)/(an +1)-an=(3-an)/(an+1)>0
所以：{an}单调递增
综合以上，an<3，且an单调递增，an>=1
设bn=3-an，则：b1=3-a1=2
由a(n+1)-an=(3-an)/(an+1)得：
bn-b(n+1)=bn/(an+1)
b(n+1)=bn - bn/(an+1)
[b(n+1)]/bn=1 - 1/(an+1)
因为：1<=an<3
所以：2<=an+1<4
1/4 < 1/(an+1) <= 1/2
1/2 <= 1 - 1/(an+1) < 3/4
所以：1/2 <= [b(n+1)]/bn < 3/4
所以：(1/2)^(n-1) <= bn/b1 < (3/4)^(n-1)
当n->无穷大，bn/b1->0，即bn->0
所以：当n->无穷大，an=3-bn->3
如果an>0，则：a(n+1)>0
因为a1=1>0，所以，对于任意的n，都有an>0
如果an<3，则：a(n+1) = (an^2 +3)/(an +1) < (3an +3)/(an +1) = 3，即a(n+1)<3
而因为a1=1<3，所以，对于任意的n，都有an<3
所以：a(n+1)-an=(an^2 +3)/(an +1)-an=(3-an)/(an+1)>0
所以：{an}单调递增
综合以上，an<3，且an单调递增，an>=1
设bn=3-an，则：b1=3-a1=2
由a(n+1)-an=(3-an)/(an+1)得：
bn-b(n+1)=bn/(an+1)
b(n+1)=bn - bn/(an+1)
[b(n+1)]/bn=1 - 1/(an+1)
因为：1<=an<3
所以：2<=an+1<4
1/4 < 1/(an+1) <= 1/2
1/2 <= 1 - 1/(an+1) < 3/4
所以：1/2 <= [b(n+1)]/bn < 3/4
所以：(1/2)^(n-1) <= bn/b1 < (3/4)^(n-1)
当n->无穷大，bn/b1->0，即bn->0
所以：当n->无穷大，an=3-bn->3
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