证明 1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n 有极限

证明 1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n 有极限

1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + … + 1/√n
＝2/(2√1) + 2/(2√2) + 2/(2√3) + 2/(2√4) + … + 2/(2√n)
≤2/(√0+√1) + 2/(√1+√2) + 2/(√2+√3) + 2/(√3+√4) + … + 2/[√(n-1)+√n]
＝ 2 (√1-√0) + 2(√2-√1) + 2 (√3-√2) + 2 (√4-√3) + … + 2 [√n-√(n-1)]
＝2√n
那么
1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n≤0

同理
1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + … + 1/√n
＝2/(2√1) + 2/(2√2) + 2/(2√3) + 2/(2√4) + … + 2/(2√n)
≥2/(√2+√1) + 2/(√3+√2) + 2/(√4+√3) + 2/(√5+√4) + … + 2/[√(n+1)+√n]
＝ 2 (√2-√1) + 2(√3-√2) + 2 (√4-√3) + 2 (√5-√4) + … + 2 [√n+1-√n]
＝2√（n+1） -2

那么1+1/√2+1/√3+……1/√n-2√n≥2√（n+1） -2 - 2√n ＞ -3

所以上限下限都存在，极限一定存在。

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列. 人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+c(c=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式. 但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式. 当n→∞时 1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n 这个级数是发散的。简单的说，结果为∞ －－－－－－－－－－－－－－－－－－ 用高中知识也是可以证明的，如下： 1/2≥1/2 1/3＋1/4＞1/2 1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2 …… 1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2 对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2 必然能够找到k，使得 1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/2^k＞a 所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n→∞

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