σ(n)是奇数的充要条件是n=k^2或2k^2

σ(n)是奇数的充要条件是n=k^2或2k^2

方程变形为：(m＋n＋1)(m－n)＝2k
若该方程有整数解，由方程左边m＋n＋1与m－n奇偶性不同知，必有一个为奇数
又m＞n＋1，m－n＞1，m＋n＋1＞2(n＋1)＞0
从而m－n≥2，m＋n＋1≥2
因此方程左边必有一个大于2的奇因数，从而右边k中也必有一个大于2的奇因数
即k不能表示为一个2的整数次幂

若该方程满足k不能表示成一个2的整数次幂，不妨设k＝2^r·a(r是正整数，a为大于2的奇数)
∴(m＋n＋1)(m－n)＝2k＝2^(r＋1)·a
令m＋n＋1＝a，m－n＝2^(r＋1)
即有：m＋n＝a－1，m－n＝2^(r＋1)
故m＝1/2[a－1＋2^(r＋1)]是整数，n＝1/2[a－1－2^(r＋1)]也是整数

虽然我很聪明，但这么说真的难到我了

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