用向量方法证明空间四边形对角线相互垂直的充要条件是对边平方和相等

用向量方法证明空间四边形对角线相互垂直的充要条件是对边平方和相等

为方便，下面#后的代表向量。
#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.
对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD
两组对边平方和分别为：
AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC
AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA
则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0
所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等
。

设四顶点对应向量a,b,c,d. 对角线垂直 <=> (a-c) * (b-d)=0 (*表示点积） <=> a*b+c*d=b*c+d*a <=> (a-b)*(a-b)+(c-d)*(c-d)=(b-c)*(b-c)+(d-a)*(d-a) <=> 两组对边的平方和相等

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