n乘以2的n次方的数列的和如何求

n乘以2的n次方的数列的和如何求

对于一个数列形如一个等差数列乘上等比数列的情形

可以考虑在其前n项和Sn上乘以它对应的那个等比数列的公比

设Sn为你所给出的数列的前n项和

Sn=1*2^1+2*2^2+……+n*2^n

因为对于给出的数列，它的一个等比数列的公比为2

所以之后考虑2Sn=2*1*2^1+2*2*2^2+……+2*n*2^n=1*2^2+2*2^3+……+n*2^(n+1)

用2Sn-Sn=n*2^(n+1)-[2^n+2^(n-1)+……+2^2]-2^1

怎么相减：把2Sn的最后一项放在最后，把Sn的第一项放在最前面，之后把2Sn和Sn的剩余的n-1项放在一起想减

整理后可得：Sn=(n-1)*2^(n+1)+2

S=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n

2S=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+n*2^（n+1）

2S-S=S=-2^1-2^2-2^3-...2^n+n*2^(n+1)

= -（2^1+2^2+2^3+...+2^n）+n*2^(n+1)

= 2（1-2^n）+n*2^(n+1)

= 2-2^（n+1）+ n*2^(n+1)

= （n-1）*2^(n+1)+2

an=n*2^n

Sn=2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n...............................(1)

2Sn= 1*2^2+2*2^3+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)........(2)

(1)-(2)得到：-Sn=2+2^2+...+2^n-n*2^(n+1)

=2(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)

=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)

=(1-n)*2^(n+1)-2

Sn=(n-1)*2^(n+1)+2

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