如何证明AX=0，BX=0同解问题

如何证明AX=0，BX=0同解问题

1. 由A,B 的行向量组等价
(1) A的行向量可由B的行向量线性表示, 则存在m*n矩阵C满足 A = CB
若X1是BX=0的解, 则 BX1 = 0
则有 AX1 = CBX1 = C0 = 0
即 BX=0 的解都是 AX=0 的解
(2) B的行向量可由A的行向量线性表示, 则存在t*n矩阵D满足 B = DA
同理可证 AX=0 的解都是 BX=0 的解.
所以 AX=0 与 BX=0 同解 #

2. 证明: 作矩阵 H = (A; B) [ A,B 上下放置]
则 r(H) ≤ r(A)+r(B) < n.
所以齐次线性方程组 HX = 0 有非零解α.
即有 α≠0 满足 Aα=0=0α, Bα=0=0α.
所以0是 A,B 的共同特征值, α是A,B的属于特征值0的共同特征向量. #

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第一：A(m*n),B(t*n)的行向量等价时,对AX=0，的增广矩阵进行初等行的变换，可以得到与BX=0
的增广相同的矩阵，所以AX=0.BX=0同解。
第二：AB都是n阶矩阵R(B)a1,a2,...a(n-R(A))是AX=0的基础解系,b1,b2,.......b(n-R(B))是BX=0的基础解系,
显然a1,a2,...a(n-R(A)),b1,b2,.......b(n-R(B))线性无关(向量的个数2n-R(A)-R(B)>n)
所以有不全为0的数k1,k2,...k(n-R(A)),k1',k2',.......K(n-R(B))'使:
k1*a1+k2*a2+...+k(n-R(A))*a(n-R(A))+k1'*b1+k2'*b2+,.......+k(n-R(B))'*b(n-R(B))=0
同时k1,k2,...k(n-R(A))不全0,否则与a1,a2,...a(n-R(A)),线性无关矛盾,
同理k1',k2',.......K(n-R(B))'也不全为0
得k1*a1+k2*a2+...+k(n-R(A))*a(n-R(A))=-k1'*b1-k2'*b2-,.......-k(n-R(B))'*b(n-R(B))=β
则β必然同时是AX=0.BX=0的解.
所以A,B有共同特征向量。

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