高中数学~数列 三~高手进

已知数列{an}，其前n项和为Sn，满足S(n+1)=2S(n)+1，且a(1)=1

设数列{na(n)}的前n项和为T(n)，试比较T(n)/2与S(n)的大小

小括号中的均为下标

要过程~谢谢拉

解：∵S(n+1)=2S(n)+1

∴S(n+1)+1=2（S(n)+1）

即[S(n+1)+1]/[S(n)+1]=2

∴s（1）=a(1)=1

故{S(n+1)+1}是公比为2的等比数列

∴S(n)+1=2^(n-1)[s(1)+1]=2^(n-1)(1+1)=2^n

∴s(n)=2^n-1

∵an=s(n+1)-s(n)=2^(n+1)-1-2^n+1=2^(n+1)-2^n=2^n

∴nan=n2^n

∴T(n)=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n (1)

∴2T(n)= 1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1) （2）

(1)-（2）得

-T(n）=2+2^2+2^3+...+2^n-n*2^(n+1)=2(2^n-1)-n*2^(n+1)=(1-n)*2^(n+1)-2

∴T(n）/2=[2+(n-1)*2^(n+1)]/2=1+(n-1)*2^n

[T(n）/2]-S(n)=1+(n-1)*2^n-[2^n-1]=2+（n-2）*2^n

当n=1时2+（n-2）*2^n=0即[T(n）/2]-S(n)=0

此时T(n）/2=S(n)

当n≥2时2+（n-2）*2^n>0即[T(n）/2]-S(n)>0

此时T(n）/2>S(n)

待定系数法S(n+1)+x=2[S(n)+x]解出x最后S(n)+x看成等比数列再来算就简单了

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