如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：直线AD是CE的垂直平分线。

用两种方法解答：垂直平分线的定义、判定。

在角CAE中AD为平分线，且DE垂直于AE，DC垂直于AC,所以DE=DC。

又因为DE垂直于AE，DC垂直于AC，且DE=DC，AD=AD,

所以三角形AED全等于三角形ACD，如图。

所以，EC与AD垂直且平分。

证明：DE⊥AE，∠AED=∠C=90° AD平分∠BAC，∠CAD=∠EAD AD=AD∴△ACD≌△AED。AC=AE，所以A在CE垂直平分线上。ED=DC，所以 D在CE垂直平分线上。 因此AD就是CE的垂直平分线。

设AD,CE交于F, ∵AD平分∠BAC ∴DC=DE RT⊿AED,RT⊿ACD中 ∵AD=AD,DE=DC ∴RT⊿AED≌ACD ∴AE=AC ⊿AEF,⊿ACF中 ∵AE=AC,∠EAF=∠CAF,AF=AF ∴⊿AEF≌⊿ACF ∴EF=CF,∠AFE=∠AFC ∵∠AFE+∠AFC=180° ∴∠AFE=∠AFC=90° ∴AD垂直平分CE

证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD， ∴AE=AC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE， 即直线AD是线段CE的垂直平分线．

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