牛顿法解方程

牛顿法解方程

一、牛顿法
　　解非线性方程f(x)=0的牛顿(Newton) 法，就是将非线性方程线性化的一种方法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。
　　（一） 牛顿法的基本思想
　　把非线性函数f(x)在 处展开成 泰勒级数
　　f(x)=f( )+(x- )f′( )+(x- ) + …
　　取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有
　　f( )+(x- ) f′( )=0
　　设f′( )≠0，则其解为x = - (1)
　　再把f(x)在x 处展开为泰勒级数，取其线性部分为f(x)=0的近似方程，若
　　f′(x ) ≠0，则得x = - 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：x = - (n=0,1,2,…) (2)
　　例1 用牛顿法求方程f(x)=x +4x -10=0在［1,2］内一个实根，取初始近似值x =1.5。
　　解 f′(x)=3x +8x所以迭代公式为：
　　x = - n=0,1, 2，…
　　（二 ） 牛顿法的几何意义
　　方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值 选取后，过( ,f( ))作切线，其切线方程为：y- f( )=f′( )(x- )
　　它与x轴交点的横坐标为x = -
　　一般地，设 是x*的第n次近似值，过( ,f( )作y=f(x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为：x = - 即用切线与x轴交点的横坐标近似代
　　曲线与x轴交点的横坐标，如图2-4。
　　2-4
　　牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法。
　　（三） 牛顿法的收敛性及收敛速度
　　定理 设f(x)在［a,b ］满足
　　(1) (1) f(a)·f(b)<0
　　(2) f(x)∈［a,b］，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)与f″( x)的符号均保持不变。
　　(3) f( )·f″(x)>0， 、x∈［a,b］，则方程f(x)=0在［a,b］上有且只有一个实根，由牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列｛ ｝收敛于方 程f(x)=0的根x*。
　　由方程f(x)=0得到的牛顿迭代形式
　　x=x- = =1- = 由于f(x*)=0，所以当f′(x*)≠0时， (x* )= 0，牛顿法至少是二阶收敛的，即牛顿法在单根附近至少是二阶收敛的，在重根附近是线性收敛的。
　　牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。
　　
　　（四） 牛顿二阶导数法
　　这里将简单介绍一下牛顿二阶导数法。对其几何意义及收敛性不作详细的叙述，读者可仿照牛顿法进行讨论，其基本思想是：
　　将f(x)在 处展开泰勒级数
　　f(x)=f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) +…
　　取右端前三项近似代替f(x)，于是得f(x)=0的近似方程为
　　f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) =0
　　也即f( )+(x- )[f′( )+ f″( )(x- )] =0 (3)
　　设其解为 .利用(1)， - =- ，代入(3)中括号内 - ,则得f( )+( - ) [f′( )+ f″( ) ] =0
　　于是解出 ，得 = -
　　重复以上过程得： = -
　　于是得牛顿二阶导数法的迭代公式为：
　　= - n=0,1,2,… (4)
　　上式与牛顿法迭代公式(2)相比，利用此公式求根收敛更快，迭代次数更少。其缺点是要求f(x)的二阶导数存在。

如果寻找方程f(x)=0的零点t，假定f二阶可导，那么在t附近的点u有
0=f(t)=f(u)+f'(u)(t-u)+f''(x)(t-u)^2
略去二阶小量得
f(u)+f'(u)(t-u)=0
于是
t=u-f(u)/f'(u)
但是实际上因为f不一定是线性的，不可以忽略略去二阶小量的影响，所以上述过程就要迭代地进行
f(x_{n+1})=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
并且这个迭代具有(局部)二次收敛性。
就写这些，教材上一般都会有的，你自己去看看。

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