已知二次函数y=x2+mx+m-5，（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．

已知二次函数y=x2+mx+m-5，
（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．

解：（1）根据b2-4ac与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，
即m2-4×1×（m-5）=m2-4m+20=（m-2）2+16＞0，
所以抛物线总与x轴有两个交点；

（2）设函数与x轴两个交点的值为x1，x2，且x2＞x1，
x1+x2=-m，且x1?x2=m-5，
所以（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=m2-4（m-5）=m2-4m+20=（m-2）2+16，
所以当m=2时，x2-x1有最小值4，
所以，抛物线与x轴两交点之间的距离最短为4．解析分析：（1）根据b2-4ac与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，即m2-4（m-5）是否大于0，算出其取值范围即可；
（2）设函数与x轴两个交点的值为x1，x2，且x2＞x1，然后可根据函数两个值的和等于m，两个值的积等于m-5算出x2-x1的值，最后求出其最小值即可．点评：本题主要考查对于a2-4ab与0的等量关系来判断二次函数与x轴交点的个数的判定，以及对于二次函数性质的掌握．

我明天再问问老师，叫他解释下这个问题

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