求证1+1/2+1/3……+1/n-In(n+1) 存在极限

求证1+1/2+1/3……+1/n-In(n+1) 存在极限

对 ： k ∈Z+

1/(k+1) =∫[k,k+1]1/(k+1)dx
<∫[k,k+1] 1/x dx = ln(k+1)-lnk
<∫[k,k+1] 1/kdx =1/k

∴
1/2+1/3……+1/n+1/(n+1)
<[ln(n+1)-lnn]+...+[ln2-ln1]=ln(n+1)
<1+1/2+1/3……+1/n

令：an = 1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)
0<1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)< 1- 1/(n+1) <1
∴ an为有界数列；
由：x>-1 时，ln(1+x)an -a(n-1) = 1/n -(ln(n+1)-lnn) = 1/n - ln(1+1/n) > 0
∴ an为单调数列；

∴ an 存在极限。
lim(n->∞) {1+1/2+1/3……+1/n-ln(n+1)} = C =0.577215...
C 称为欧拉常数。

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