已知f(x)是二次函数,不等式f(x)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)

已知f(x)是二次函数,不等式f(x)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)

1.∵f(x)是二次函数,f(x)＜0的解集是（0,5）∴可设f(x)=ax(x－5) （a＞0） 因为f(x)图象的对称轴为x=5/2 ,∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a,由已知得6a=12,∴a=2 ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x (x∈R) 2.方程f(x)+ 37/x=0等价于方程2x^3-10x^2+37=0 设h(x)= 2x3-10x2+37.则h'(x)=6x2-20x=2x(3x-10) 当x∈(0,10/3) 时,h'(x)＜0,h(x)是减函数,当x∈(10/3 ,+∞) 时,h'(x)＞0,h(x)是增函数,∵h(3)=1＞0,h( 10/3)=-1/27 ＜0,h(4)=5＞0∴方程h(x)=0在区间(3,10/3 ),(10/3 ,4)内分别有唯一实数根,而在区间（0,3）,（4,+∞)内没有实数根.∴存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+37/x =0 在区间（m,m+1）内有且只有两个不同的实数根.======以下答案可供参考======供参考答案1:(1)f(x)=2x∧2-10x（2） f(x)+37/m=2(x-5/2)∧2-25/2+37/m.要使在（m，m+1）内有两个不同的解，则需要： f（m)=2m∧2-10m+37/m>0 f(m+1)=2m∧2-6m-8+37/m>0 m f(5/2)=-25/2+37/m由③、④解得不等式矛盾，所以不存在这样的m供参考答案2:(1)∵二次不等式f(x) ∴可设f(x)=ax(x-5)，a>0 又∵f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12，对称轴为x=5/2 结合图像可知：当x=-1时，f(x)取到最大值12，∴12=a×(-1)×(-1-5) ∴a=2 ∴f(x)=2x(x-5) (2)假设存在符合题意的实数m，使得方程2x²-10x+37/m=0在区间(m,,m+1)内有且只有两个不等的实数根，则可得：①△=b²-4ac=100-4×2×37/m>0 ②对称轴x=5/2∈区间(m,m+1) ③f(m)>0且f(m+1)>0 ，由以上三式共同可得：m无解，所以不存在。

我学会了

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