对于三次函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数f（x）的导数，f″（x）是函

对于三次函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，f″（x）是函数f（x）的导数，此时，称f″（x）为原函数f（x）的二阶导数．若二阶导数所对应的方程f''（x）=0有实数解x 0 ，则称点（x 0 ，f（x 0 ））为函数f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设三次函数f（x）=2x 3 -3x 2 -24x+12请你根据上面探究结果，解答以下问题：①函数f（x）=2x 3 -3x 2 -24x+12的对称中心坐标为______；②计算 f( 1 2013 )+f( 2 2013 )+f( 3 2013 )+…+f( 2012 2013 )+f( 2013 2013 ) =______．

①由f（x）=2x 3 -3x 2 -24x+12，得f ′ =6x 2 -6x-24，f ′′ （x）=12x-6．
由f ′′ （x）=12x-6=0，得x=
1
2 . f(
1
2 )=2×(
1
2 ) 3 -3×(
1
2 ) 2 -24×
1
2 +12=-
1
2 ．
所以函数f（x）=2x 3 -3x 2 -24x+12的对称中心坐标为 (
1
2 ，-
1
2 ) ．
故答案为 (
1
2 ，-
1
2 ) ．
②因为函数f（x）=2x 3 -3x 2 -24x+12的对称中心坐标为 (
1
2 ，-
1
2 ) ．
所以 f(
1
2013 )+f(
2012
2013 )=f(
2
2013 )+f(
2011
2013 )=…=2f(
1
2 )=2×(-
1
2 ) =-1．
由 f(
2013
2013 )=f(1)=-13 ．
所以 f(
1
2013 )+f(
2
2013 )+f(
3
2013 )+…+f(
2012
2013 )+f(
2013
2013 ) =-1006-13=-1019．
故答案为-1019．

∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）， ∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f''（x）=6ax+2b， ∵f″（x）=6a×（- b 3a ）+2b=0， ∴任意三次函数都关于点（- b 3a ，f（- b 3a ））对称，即①正确； ∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心， ∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即②正确； 任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确； ∵g′（x）=x2-x，g″（x）=2x-1， 令g″（x）=0，可得x= 1 2 ，∴g（ 1 2 ）=- 1 2 ， ∴g（x）= 1 3 x3- 1 2 x2- 5 12 的对称中心为（ 1 2 ，- 1 2 ）， ∴g（x）+g（1-x）=-1， ∴g（ 1 2013 ）+g（ 2 2013 ）+…+g（ 2012 2013 ）=-1×1006=-1006，故④正确． 故答案为：①②④．

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