高中数学题 高手进！

已知二次函数y=f1﹙x﹚的函数以原点为为顶点且过点﹙1，1﹚，反比例函数y＝f2﹙x﹚的图像与直线y＝x的两个交点间距离为8.  f﹙x﹚＝f1﹙x﹚＋f2﹙x﹚

⑴求函数f﹙x﹚的表达式

﹙2﹚证明：当a﹥3时关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解

希望有详细过程

1.由于二次函数y=f1﹙x﹚的函数以原点为为顶点且过点﹙1，1﹚

所以f1﹙x﹚=x^2

又设f2﹙x﹚=k/x,与直线y＝x的两个交点为（-√k,-√k),（√k,√k),

所以2√2k=8   得k=8   所以f2(x)=8/x

f(x)=x^2+8/x

2.依题意有x^2+8/x=a^2+8/a    （1）

   很显然x=a是其中的一个解

   对（1）整理得ax^3-(a^3+8)x+8a=0    即(x-a)(ax^2+a^2x-8)=0

    对于ax^2+a^2x-8=0   判别式=a^4+32a＞0，即有两个不同的解x1,x2

    将x=a代入y=ax^2+a^2x-8,得y=2a^3-8≠0 （因为a﹥3） 说明a≠x1≠x2≠0

    所以当a﹥3时关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解

1、因为f1(x)过原点，且开口向上，所以令f1(x)=bx的平方，函数过（1，1），所以代入得f1(x)=x的平方，对于函数f2(x)，距离为8，所以一个交点距离原点为4，令交点坐标为（x,y）,又因为交点也在直线y=x上，所以 x=y,令反函数为y=cx的平方，所以解得c平方=15，从而解得f(x)。