求证：无论x，y为何实数，（x²+1）（y²+1）-4xy都不会是负数

求证：无论x，y为何实数，（x²+1）（y²+1）-4xy都不会是负数

（x²+1）（y²+1）-4xy

=x²y²+x²+y²+1-4xy

=(x²y²-2xy+1)+(x²-2xy+y²)

=(xy-1)²+(x-y)²

可见，原式结果是两个完全平方式的和，两个完全平方式都是非负的，和也是非负

所以（x²+1）（y²+1）-4xy≥0

所以原结论成立

（x²+1）（y²+1）-4xy

=x²y²+x²+y²+1-4xy

=x²y²+x²+y²+1-2xy-2xy

=（x²+y²-2xy)+(x²y²-2xy+1)

=(x-y)²+（xy-1)²

因为(x-y)²+（xy-1)²≥0，∴无论x，y为何实数，（x²+1）（y²+1）-4xy都不会是负数。

（x²+1）（y²+1）-4xy=x²y²+x²+y²+1-4xy=（xy-1)^2+(x-y)^2大于等于0

注：^2为平方

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