如图，已知D是RT△ABC中直角边BC上的一点，以BD为直径的圆交斜边AB于点E,连EC交此圆与点F，

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解决时间 2021-02-02 01:39

提问者网友：我是女神我骄傲
2021-02-01 04:48

如图，已知D是RT△ABC中直角边BC上的一点，以BD为直径的圆交斜边AB于点E,连EC交此圆与点F，连接BF并延长交AC于点G。求证GF·CA=CD·EA

最佳答案

五星知识达人网友：从此江山别
2021-02-01 05:04

需要求证的结论应该是：CF·CA＝CF·EA。
［证明］
∵BD是直径，∴AE⊥DE，∴∠AEC＝90°－∠DEF。
∵B、D、F、E共圆，∴∠DEF＝∠DBG，∴∠AEC＝90°－∠DBG。
∵BC⊥CG，∴∠FGC＝90°－∠DBG，∴∠AEC＝∠FGC。······①

∵AE⊥DE、AC⊥DC，∴A、E、D、C共圆，∴∠EAC＝∠BDE。
∵B、D、F、E共圆，∴∠BDE＝∠BFE，∴∠EAC＝∠BFE，而∠BFE＝∠GFC，
∴∠EAC＝∠GFC。······②
由①、②，得：△AEC∽△FGC，∴EA/GF＝CA/CF，∴CF·CA＝CF·EA。

［以下证明CF＞CD。］
∵B、D、F、E共圆，∴∠CDF＝∠BEF＞∠BED＝90°。
∵B、D、F、E共圆，∴∠CFD＝∠ABC＜90°，∴∠CDF＞∠CFD，∴CF＞CD。

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1楼网友：上分大魔王
2021-02-01 05:47

∵bd是直径，∴ae⊥de，∴∠aec＝90°－∠def。 ∵b、d、f、e共圆，∴∠def＝∠dbg，∴∠aec＝90°－∠dbg。 ∵bc⊥cg，∴∠fgc＝90°－∠dbg，∴∠aec＝∠fgc。······① ∵ae⊥de、ac⊥dc，∴a、e、d、c共圆，∴∠eac＝∠bde。 ∵b、d、f、e共圆，∴∠bde＝∠bfe，∴∠eac＝∠bfe，而∠bfe＝∠gfc， ∴∠eac＝∠gfc。······② 由①、②，得：△aec∽△fgc，∴ea/gf＝ca/cf，∴cf·ca＝cf.ea

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